山东大学《高等数学》期末复习参考题(9)

山东大学《数学分析III》期末复习参考题

题 号 得 分 一 二 三 22四 总 分 一、填空题（共 5 小题，20 分） 1、设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4则??f?x?y?dxdy在极坐标系下先对r积

D分的二次积分为_____________.

2、函数z?arcsinxy在点（1，

xeyy13）沿x轴正向的方向导数是_____________.

?3、函数z?2在点（2，1）沿a??1,2?方向的方向导数是_____________.

1yy4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分

?0dy?f?x,y,?dx交换积分次序后为

______________.

5、设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=__________________.

二、选择题（共 10 小题，40 分）

'1、设z?xye?xy，则zx(x,?x)?（ ）

(A) ?2x(1?x2)ex (B) 2x(1?x2)ex (C) ?x(1?x2)ex (D) ?x(1?x2)ex

2、设曲线C是由极坐标方程r=r(θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则

( )

2222

3、设u?x?2bxy?cy，(A) 4

(B) －4

22?u?x(2,1)?6,?u?y(2,1)?0，则

?u?y22=( )

(C) 2 (D) －2

4、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则

的充要条件是( )

(A) f(x,y,z)在Ω4上是奇函数 (B) f(x,y,z)≡0, (x,y,z)∈Ω4 (C) Ω4=?空集 (D) 5、设f(x,y)是连续函数，则二次积分

???f?x,y,z?dv?4?0

( )

6、设z?xy则(A)yxxyx?1x?z?x?( )

(B)yxlnxlny?????1? ?x?1?(C) yxxylnxlny?

??x??x?1?

(D) yxxylnx?

??x??x7、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=

a,b,c为常数，则( )

(A) I>0 (B) I<0

(C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定

8、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的( ) (A)必要而非充分条件； (C)充分必要条件； 9、设

(B)充分而非必要条件；

(D)既非充分又非必要条件。 ，则I满足( )

10、设C为分段光滑的任意闭曲线，?(x)及ψ(y)为连续函数，则的值( )

(A)与C有关

(C)与?(x)、ψ(x)形式有关

(B)等于0 (D)2π

三、计算题（共 3 小题，20 分）

1、设a为常矢量，r为矢径(r=xi+yj+zk),r=|r|.求：(1) div(ra). (2) div(r3a). 2、计算曲线积分 至点B(2，0)的上半椭圆。

3、求函数z?x?2xy?2y?2y在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和最大值。

22 ，式中L是从O(0，0)沿曲线

四、证明题（共 2 小题，20 分）

1、试验证：

其中P为任意一条有向的光滑封闭曲线。

22、设f(x,y)?Ax2?2Bxy?Cy2?2Dx?2Ey?F，且A?0,B?AC?0，证明存在一点(x0,y0)，使得f(x0,y0)为极小值。

《数学分析III》期末试卷09答案与评分标准

一、填空题（共 5 小题，20 分）

1、

2、1

223、?3e

54、dxf(x,y)dy.

5、

μ(x,y)dσ(或

μ(x,y)dxdy).

二、选择题（共 10 小题，40 分）

DABDC CCAAB

三、计算题（共 3小题，20 分）

1、解：diva=0.gradr=

. （3分）

(1). div(ra)=rdiva+gradr·a

=

·a (2). div(r3a)=r3diva+gradr3·a

=0+3r2gradr·a

=3rr·a 2、解：P?exsiny，Q?excosy。

?P?y?excosy??Q?x，故原积分与路径无关。 ?exsinydx?excosydyL

??d(exsiny)Lx(3,0)

?(esiny)(0,0)?0 3、解：由?zx?2x?2y?0??zy??2x?4y?2?0，得D内驻点（1，1）且 z(1,1)??1

在边界x?0上，z21?2y?2y?0?y?2?

（6分）

（10分）（5分）

（10分）

3分）

（

z1??4y?2?0，得驻点y?12

z1(0)?0,z1(2)?41?1?,z1????

2?2?(0?y?2)

在边界x?2上，z2?2y2?6y?4

z2??4y?6?0，得驻点y?32

z2(0)?4,z2(2)?01?3?,z2???? （6分） ?2?2在边界y?0上，z3?x2

z3??2x?0 z3(0)?0?0?x?2?

,z3(2)?4

(0?x?2)

在边界y?2上，z4?x2?4x?4

z4??2x?4?0,z4(0)?4,z4(2)?0

（8分）

比较后可知，函数z在点(1,1)处取最小值z(1,1)??1

在点(0,2),(2,0)处取最大值z(0,2)?z(2,0)?4。 （10分）

四、证明题（共 2 小题，20 分）

1、证明：

（5分）

（10分）

?fx?2Ax?2By?2D?02、证明：由?，得驻点P(x0,y0)

f?2Bx?2Cy?2E?0?y其中x0?

D?BE?CDAC?B2,y0?BD?AEAC?B2 （4分）

fxxfyxfxyfyy?2A2B22B2C

D(P)?4(AC?B)?0,fxx(P)?2A?0

（8分） （10分）

故函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取极小值f(x0,y0)。