幂函数的性质与图象

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点难点】

重点：幂函数的概念和幂函数在第一象限内的图象性质。 难点：幂函数性质的总结。 【教学方法】

采用“引导、探究、再创”的教学模式，即引导学生观察特例，提炼规律，化抽象为具体，探究其性质，再化具体规律到一般规律。 【教学手段】

多媒体辅助教学。 【教学过程】

一、 引入：以教材的编排为切入点，说明我们学习函数的定义域、值域、奇偶性、单调

性等一系列性质都是为了研究具体的函数，今天我们就来研究一类新的函数：幂函数。

二、 幂函数的定义：

形如y?x（的函数叫做幂函数。 k为常数，k?Q）例1：判断下列函数是否是幂函数：

k(1) y?4x2 (2) y?x2?1 (3) y?3x (4) y??x

三、 研究幂函数的图象：

1、 在幂函数作图器中任意做出几个幂函数的图象。观察图象： 提问：1）是否所有幂函数在第一象限内均有图象？

2）所作的图象中有没有经过第四象限的？

3）在所有的幂函数中是否存在某个幂函数，它的图象经过第四象限？

结论：

对于一切幂函数，当x?0，总有y?xk?0，因此幂函数在第一象限内均有图象。 2、

着重研究第一象限内下列各组幂函数的图象：

3232313 1）y?x y?x 2） y?x y?x 共同点：都过点（0，0）和点（1，1） 图象都是上升的

结 论：幂函数y?xk，当k?0时的图象特点：

（1） 都过点（0，0）和点（1，1）； （2） 在区间（0，+∞）上单调递增。 3、

进一步探究幂函数y?xk，(k?0)在区间（0，+∞）内图象的上升方式有何不同？

以y?x3为例，在（0，1）上，图象在直线y?x的下方（凹增） 以y?x为例，在（0，1）上，图象在直线y?x的上方（凸增） 结论：0

k>1时，图象在（0，+∞）内凹增

思考：怎样作出y?x，(k?0)在整个直角坐标系内的图象

k13y?x D=[0，+∞] 非奇非偶函数（只在第一象限内有图象）

32y?x3 D=R 奇函数（在一、三象限内有图象，关于原点对称） y?x D=R 偶函数（在一、二象限内有图象，关于y轴对称）

4、

类比，让学生发现幂函数y?x?12?85k23，当k?0时的图象特征。

y?x y?x y?x?3

在第一象限内图象：（1）过点（1，1）；

（2）在区间（0，+∞）上单调递增。 四、 课堂练习

找出下列四个幂函数所对应的图象

y?x y?x y?x y?x

?1253?323五、 小结 六、 布置作业

P103/1，2 P106/1， 【教学后记】

这是一节市公开课，也是二期课改的示范课，为了更好地体现二期课改的精神：学生自主学习。我选择了较难上的幂函数的性质与图象这一节内容。幂函数可以说是所有函数中形式最多，图象最为复杂的函数，正因为多才有讨论的必要，才能更好地发挥学生的主体作用。

幂函数的内容多而散乱，特别是图象容易混淆，因此这节课我考虑使用多媒体来上。教学过程主要是以学生为主体的探究—发现式，并在发现的基础上猜想结论，然后说明理由，同时还用到了特殊到一般的数学归纳思想。

这节课上下来，我自己的总体感觉不错，市里听课老师的评价也还不错，应该算是比较成功的一课：

优点主要体现 在新技术的应用，很好地突出了幂函数图象的重要性，一直围绕对图象的分析，课上调控能力较强，表达比较清晰，而且学生的参与性也比较强，特别是幂函数作图器这个平台比较好。这节课始终渗透着分类讨论的数学思想：对k<0，k=0，01时的幂函数的图象作了一一说明，并给出了非常形象的比喻，k<0时的图象为双曲线型；01时图象在第一象限内凹增，象作了一个举手的动作，故称之为举手型图象。有教师评价说：此类形象的比喻，给我的印象是终生的。函数中最重要的思想就是一个变量随另一个变量的变化而变化。哲学中讲到：量变引起质变。幂函数的图象同样反映了这一规律，从k<0的双曲线型图象到k=0时的直线型图象，经过了一次量变而引起了质的变化。从中让学生体会到数学的奥妙和数学的美。

当然不足的地方可以预见：使用多媒体势必引起这堂课的容量较大，对基础差的学生来讲较难适应，因此怎样使新技术与传统的技术相协调，是我们作为青年教师应好好考虑的问题。 【评课】 杨高中学：

优点：新技术，多媒体技术应用于函数图象的研究，让学生知道怎样研究函数的图象，突出了幂函数的图象，一直围绕对图象的分析，调控能力较强，表达清晰，学生参与比较强，幂函数作图器这个平台比较好，总结可以，归纳得非常形象生动。

缺点：容量大，变化快，基础差的学生较难接受，这也是多媒体使用的通病。 丰华中学：

优点：教案非常详尽，教学目标、能力目标、情感目标都得到了体现，新课引入后提出的设问非常好。形象、神态都不错，是一堂成功的二期课改试验课。

值得考虑的问题：（1）协调主体与主导的作用； （2）新技术与传统技术的调和； （3）新知识与旧知识的关系把握。 崇明中学：

眉毛型图象、举手型图象、双曲线型图象，给我的印象是终生的！ 市教研员：

符合二期课改的理念，图形做法有新技术的支持，通过观察由学生得出性质，始终渗透着分类讨论的数学思想，分界线画得非常清楚。

不足的地方可以预见，幂函数的图象较复杂，四十分钟的限制很难将它讲得非常透彻。 总的来讲，这是一节比较成功的二期课改示范课。