广东省潮州市2012-2013学年第一学期期末质量检测高三文科数学试(2)

（2）若a、b?[1,3]，则总的基本事件所构成的区域

bED3??{(a,b)|1?a?3,1?b?3}，是平面直角坐标系aOb中的

一个正方形（如右图的四边形BCDE），其面积

1O1B3CaS??(3?1)2?4． ???? 9分

事件A构成的区域是A?{(a,b)|1?a?3,1?b?3,a?b}，是平面直角坐标系aOb中的一个等腰直角三角形（如右图的阴影部分）， 其面积SA?bE1?(3?1)2?2． 23D故事件A发生的概率P(A)?SA21??． ?? 12分 S?421O1B3Ca17．解：（1）设动点P(x,y)，又点M(4,0)、N(1,0)，

?????????????∴MP?(x?4,y)，MN?(?3,0)，NP?(x?1,y)． ??? 3分

?????????????22由MN?MP?6|NP|，得?3(x?4)?6(1?x)?(?y)， ??? 4分

x2y2??1． ∴(x?8x?16)?4(x?2x?1)?4y，故3x?4y?12，即4322222∴轨迹C是焦点为(?1,0)、长轴长2a?4的椭圆； ??? 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分． （2）设曲线C上存在点Q(x0,y0)满足题意，则S?MNQ?∴|MN|?|3． ??? 9分 212y0|?，又|MN|?3，故|y0|?1． ??? 11分

32x02y02y02182)?4(1?)?． ??? 12分 ??1，故x0?4(1?又

33343x0??∴

826??． ??? 13分 33326,?1)使得?MNQ的面积S?MNQ?．?? 14分

23∴曲线C上存在点Q(?18．（1）证明：作DH?EF，垂足H，连结BH，GH， ?? ２分

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∵平面AEFD?平面EBCF，交线EF，DH?平面EBCF，

DH?平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG?DH． ?? ４分 ∴

∵EH?AD?1BC?BG，EF//BC，?ABC?90?． 2∴四边形BGHE为正方形，故EG?BH． ???? ６分 又BH、DH?平面DBH，且BH?DH?H，故EG?平面DBH． 又BD?平面DBH，故EG?BD． ???? ８分 （2）解：∵AE?EF，平面AEFD?平面EBCF，交线EF，AE?平面AEFD． AE?面EBCF．又由（1）DH?平面EBCF，故AE//GH，??１０分 ∴∴四边形AEHD是矩形，DH?AE，故以F、B、C、D为顶点的三

棱锥D?BCF的高DH?AE?x． ????１１分

11BC?BE??4?(4?x)?8?2x． ???? 1２分 22∴三棱锥D?BCF的体积

11128f(x)?S?BFC?DH?S?BFC?AE?(8?2x)x??x2?x

33333又S?BCF? ???? 1４分

111444?；由S2?a1?a2?，得?． ，得

2a?b232a?b3?a?b?2?a?1n2 ∴，解得?，故Sn?； ???? 4分 ?n?1?2a?b?3?b?1n2(n?1)2n3?(n?1)2(n?1)n2?n?1（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?．?? 7???2n?1nn(n?1)n?n19．解：（1）由S1?a1?分

n2?n?11 由于a1?也适合an?． ??? 8分

2n2?nn2?n?1an?2 ∴； ??? 9分

n?na111（3）bn?2n． ??? 10分 ???n?n?1n(n?1)nn?1∴数列{bn}的前n项和

1111111Tn?b1?b2???bn?1?bn?1?????????

223n?1nnn?11n? ?1?． ??? 14分 n?1n?120．解：（1）由二次函数f(x)满足f(0)?f(1)?0．设f(x)?ax(x?1)(a?0)，

a． 41?a1又f(x)的最小值是?，故??．解得a?1．

444则f(x)?ax2?ax?a(x?)2?12 7 / 8

∴f(x)?x2?x； ?? 4分

（2）g(x)?xf(x)?(a?1)x2?a2x?x3?x2?ax2?x2?a2x?x3?ax2?a2x．

∴g'(x)?3x2?2ax?a2?(3x?a)(x?a)． ???? 6分

aa，或x??a，又a?0，故??a．???? 7分 33aa当??a，即a?0时，由g'(x)?0，得?a?x?． ???? 8分 33a∴g(x)的减区间是(?a,)，又g(x)在区间(?3,2)上单调递减，

3由g'(x)?0，得x???a??3?a?3?∴?a，解得?，故a?6（满足a?0）； ??? 10分

?2?a?6??3aa??a，即a?0时，由g'(x)?0，得?x??a． 33a∴g(x)的减区间是(,?a)，又g(x)在区间(?3,2)上单调递减，

3当

?a?a??9???3∴?3，解得?，故a??9（满足a?0）． ??? 13分

?a??2??a?2?综上所述得a??9，或a?6．

∴实数a的取值范围为(??,?9]?[6,??)． ??? 14分

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