小学奥数36个经典讲座总汇（上） - 图文(10)

13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等．

欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．

又有50?2?2????2???2?3?31，所以满足条件的最大质数为31． ????8个2 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．

所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．

60÷7=8??4，60=7+7+7+．即8个7与2?+7+4?+7+2+2???????，而4=2+2，恰好有60=7+7+7+???????8个78个7个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．

14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即

(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；?；(49，51)；

每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，?，48分和49分这49种情况． 1分和3分的币值显然不能构成．

2分，4分，6分，?，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．

5分，7分，9分，?，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，?46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．

综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．

15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?

【分析与解】如下表

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先枚举出所有可能的单价如表1． 再依次考虑：

首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能． 然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．

所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．

1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?

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第9讲 整数分拆

1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P． 3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+?+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数． 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2－1个奇约数． 6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：

m 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得

到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．

1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．

【分析与解】 画出示意图的共轭分拆．

，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?

【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8

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即最多可以播出7天．

3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?

【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．

类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．

现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；

又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个 …… 此处隐藏：3678字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……