高数下-自测题（含答案）

自测题一参考答案

一. 解答下列各题. 1. 设

f(x,y)?x2?(y?1)?arcsinxy, 求

fx'(1,1).

.

解：?2.

f(x,1)?x2，?fx'(x,1)?2x， ?fx'(1,1)?2???已知a,b,c为单位向量,

???0?????且满足a?b?c?0????b?c,

??????计算a?b?b?c?c?a???? 解：?a?b?c??，?a??a??0， ?1?a?b?a?c?0； ??0， ??0同理，

????b??a?b?c????c??a?b?c?????1?a?b?b?c?0????a?c?b?c?0；

， ?1? 故有 3.

??????3?2?a?b?b?c?c??a0? ，

??????3即a?b?b?c?c?a??2x?设z?xf??xy,?y???z?x?f?x, 其中

f具有二阶连续偏导数, 求

，

?2z?x?y.

解：

?2z1?x'?'f1?y?f2'??f?xyf1'?f2?y?y??x???''''?f1'?x?f2'????xf1'?xy?f11?x?f12?2?x?y?y???2xf1'?2xyf2'2?x2''yf11x???x?'x?''?''??????f2??f21?x?f22???22y??y???y?x??????2???y???x2y3''f22

4. 设函数z求y?z?x?x?z?y?z?222?z(x,y)由方程x?y?z?yf???y?确定, 其中

f具有一阶连续的导数,

.

2y?f??zyf'解：

?z?x?2xf'?2z，

?z?yf'?2z，?y?z?x?x?z?yxf??xzyf'f'?2z

5. 求过点M(1,0,?1), 且与直线L?x?y?0:??x?y?z?2?0垂直的平面方程.

解：直线L的方向矢量

?s?11?i?j1?1?k0??11?,?1??,，所以平面的法矢量为2s，

故所求的平面方程为

(x?1)?(y?0)?2(z?1)?0，即

x?y?2z?3?0

xy6. 求曲面2z?2z?8在点M0(2,2,1)处的切平面和法线方程.

???4ln2,4ln2,?16ln2?//?1,1,?4??0解：在点M0(2,2,1)处，法矢量n，

所以切平面方程为：(x?2)?(y?2)?4(z?1)法线方程为： 二. 设y''?p(x)y'?q(x)y?f(x)，即 x?y?4z?0，

x?21?y?21?z?1?4

的三个特解是x, ex, e2x, 求此微分方程满足条件y(0)?1,

y'(0)?3的特解.

解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为

y?C1?ex?x??C2?e2x?x??x ?y'?C1?ex?1??C2?2e2x?1??1，

将初始条件y(0)?1, y'(0)?3代入得

2e2x?ex?1?C1?C2??3?C1?1

?C1??1?? ?C2?2所以原方程的所求特解为y*? 三. 设

f(x)

是连续函数, 且满足方程

f(x)?e2x?x?f(x)?e2x?x0x?0(x?t)f(t)dt, 求f(x).

x解：整理方程

f(t)dt??0tf(t)dt，

x两边对x求导，得 再对x求导，得 求解此方程得通解为： 由初始条件 所以

四. 求曲面x?y?z?2f(x)?15f'(x)?2e2x??0f(t)dt，

f''(x)?4e2x?f(x)，

45e2xf(x)?C1cosx?C2sinx?，

f(0)?251f,得，C1?'?(0)45e2x15,C2?25，

cosx?sinx?

上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和.

??n???1x0,1y0,1??z0?解：设M0(x0,y0,z0)为曲面上任一点，过M0切平面的法矢量 切平面方程为

1x0，

?x?x0??1y0?y?y0??1z0?z?z0??0，

即

xx0?yy0?zz0?2 2y0,2?2z02?2该切平面在三个坐标轴的截距为 所以

五. 在椭球面2x2远距离. 解：椭球面2x2?y2?z2?1?y2?z2?12x0?2y0?2x0,2z0?

上求距离平面2x?y?z?6的最近点和最近距离, 最远点和最

上的点(x,y,z)到平面2x?d2?16y?z?6的距离的平方为：

2?2x?y?z?6?

设 由

F??2x?y?z?6????2x2?y2?z2?1?2

?Fx'?4?2x?y?z?6??4?x?0?'?Fy?2?2x?y?z?6??2?y?0?'?Fz??2?2x?y?z?6??2?z?0?222?2x?y?z?1?012,?11?,? 22?

得点

1??11M1?,,??2??22，M2????

由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求 最近点为M1??111?,,??2??22，最近距离为d?M1??46?；

86最远点为M2????12,?11?,?22?，最远距离为d?M2?

自测题二参考答案

六. 解答下列各题. 7. 若L为曲线y?1?x?x,0?x?2,

计算?(x?Ly)ds.

解：?(x?Ly)ds??01(1?x)5dx??(x?1)dx?1252?12

8. 计算???1?4zdS, 其中?是z?x2?y2上z?1的部分曲面.

?1?4?x???D2 解：原式???D1?4?x2?y21??1?4x2?4y2dxdy??y2???dxdy

??0?2?d??1?4?2??d??0f2?3?

9. 设F(t) 解：

x?y?t2?2???x2t?y2?dxdy, 求F'(t).

2?0f????d?，所以 t2F(t)??0d??0f??2??d??1,

?2?F'(t)??2t?f2?t

10. 设L为椭圆

x24?y23其周长记为a, 求???2xyL?3x2?4y2?ds.

解：原式????2xyL?12?ds???2xyds???12dsL??0?12a?12a

L11. 把

f(x)?13?4x13?4x展为形如?n?0an(x?1)n的幂级数, 并确定其收敛区间.

解：

f(x)??17?4(x?1)?17?1?147(x?1)

?4????(?1)(x?1)??7n?0?7?n1?n???n?0(?1)n4n7n?1(x?1)n

由

47x?1?1得收敛区间为?34?x?114

12. 证明?10dy?y0eyf(x)dx???e?e?f(x)dx.

x201证明：交换积分次序，有 左??dx?0x11eyf(x)dy?2?01f(x)dx?1xeydy?2?01f(x)ey1x2dx??0?1e?ex2?f(x)dx=右，故得证

七. 求由曲面z解：V??x2?y2及z?12?2x2?2y2围成的立体的体积.

???dV???02?d???d??0212?2?2?2dz?2?3?0?12??3??d?2?24?

八. 计算I(0,0)??(eLxsiny?my)dx?(excosy?mdy), L是从点A(a,0)沿上半圆周x2?y2?ax到

的弧段.

?exsiny?my解：由格林公式，有PI??，Q?excosy?m，Py?excosy?m，Qx?excosy，

?(eLxsiny?my)dx?(excosy?m)dy(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy??L?OA?OA(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy2

????QxD??Py?dxdy?0???mdxdyD?m???a????2?2???ma28九. 求幂级数?n?1xnn?2n的收敛域及其和函数.

anan?11n?2n解： ?an?1n?2n， ?R?limn???limn???(n?1)?2n?11?2，所以收敛区间为x?(?2,2)

?当x??2时，级数为?n?1(?1)nn?收敛，当x?2时，级数为?1nn?1发散，故原级数的收敛域为

x?[?2,2)

?设

S(X)??xnnn?1n?2，x?[?2,2)，

n?1则有

?x?S'(X)????2n?1?2?1??12?11?x2?12?x，

所以

S(x)??0xS'(t)dt??0x12?tdt?ln22?x，x?[?2,2)

十. 计算曲面积分I??????x3dydz?1?y??1?y??f???y3dzdx?f??dxdy??y?z??z?z??, 其中

f(u)有连续导数,

为曲面z?x2?y2?1与平面z?2?x3，Q?1围成的立体表面外侧.

，R?2?0解：利用高斯公式，PI??y?f???y3z?z?1?y?f??y?z?，所以

2????Px??Qy?Rz?dv?2????3x??3y2?dv?3?d??01?3d??1??2dz??2