归纳与演绎在小学数学课程教学中的应用

归纳与演绎在小学数学课程教学中的应用

内容摘要

归纳推理使学生经历通过条件预测结果以及根据结论探究成因的过程, 有利于数学的发现, 是形成创造能力的根本。对归纳推理, 课程设计和教学应从具体的数字出发，在计算的过程中让学生感悟运算的道理，掌握从具体问题入手进行运算的方法, 积累正确思考数学问题的经验。

关键词

演绎推理 归纳推理 课程与教学

正文

推理是从一个是非判断到另一个是非判断的思维过程,这个是非判断针对的对象是命题。命题是关于研究对象肯定或否定的陈述。而推理的逻辑性集中表现在命题之间的传递性。而演绎推理应该这样界定: 从假设和被定义的概念出发, 按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。正因为演绎推理是一种结果为必然的推理,所以, 所有严格的数学证明采用的都是这样的推理模式。例如, 在数学史上, 第一个可以称之为证明的是, 欧几里得在几何原本中的第一个定理: 在一条已知线段上作个等边三角形[ 1]的证明。这是个作图问题, 画完后, 需要证明为什么是等边三角形: 因为第一条边等于第二条边, 而第二条边和第三条边也相等, 于是三条边都相等。原因是什么呢? 依据的是公理: 等于同一个量的两个量相等。因为所作的三角形满足这个公理, 所以, 做出来的是等边三角形。在上述的演绎推理的界定中, 语句按照某些规定了的法则, 意味着演绎推理是由一般到特殊的、命题所涉及的范围由大到小的推理; 语句前提与结论之间有必然联系,意味着演绎推理要求前提和结论必须是事先知道的。 一般认为：归纳推理是由个别的事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理。[ 2] 因此, 人们将归纳推理简单地说成是从特殊到一般的推理。更确切地, 归纳推理是从经验和概念出发, 按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。与演绎推理的定义相比较, 可以看出, 归纳推理比演绎推理

要灵活得多,在归纳推理过程中, 所使用的概念并不需要抽象为严格的定义, 甚至可以是一种朦胧的潜意识,一种缄默认知;法则也不需要确立为严格的规定, 只需要具有某种合理性, 甚至仅仅是合乎情理;前提与结果之间联系是或然的,不一定是必然的。正因为归纳推理具有这种灵活性, 才有可能发现真理。 对于数学而言, 演绎推理是为了证明, 归纳推理是为了推断, 把两种推理模式结合起来, 就得到数学推理的全过程:从条件出发, 借助归纳推理推断结果, 再借助演绎推理证明结果的正确性;或者,进行一个相反的推理过程:从结果出发, 借助归纳推理推断条件, 再借助演绎推理证明条件的必然性。事实证明:光讲演绎是不行的。正像荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔所批评的那样, 演绎的方法是教学法的颠倒[ 3] ,它使学生失去了创造的机会。但是,光讲归纳也是不行的。如数学上著名的哥德巴赫猜想: 任何大于6的偶数都是两个奇素数的和[ 4] ,现在算到1 亿多,这个命题都成立,是不是一般都成立呢? 试了那么多具体数还是不行, 结论依没有确定。在一定范围内尝试结论成立是不够的, 必须证明结论放之四海而皆准。归纳和演绎对于数学及其推理来说是相辅相成、缺一不可的。 以鸡兔同笼问题为例。问题是鸡兔同笼,有20 个头、54 条腿, 问鸡和兔各有多少只。先通过数的运算, 进行尝试, 列表如下: 头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 20 0 20 80 20 1 19 78 20 2 18 76 20 3 17 74 ?? 归纳出: ( 1) 如果鸡数增加, 那么总腿数就减少( 2) 如果鸡数增加1, 那么兔数减少1,总腿数减少2。根据归纳出的结论可知,总腿数由80减少到题目中的54, 需减少26, 所以鸡数( 由0 开始) 增加: 26÷2= 13, 即鸡有13 只。可得出,鸡数计算方法: ( 20×4- 54)÷(4- 2) 。一般地,“鸡兔同笼, 有n 个头, m 条腿,问鸡和兔各有多少只”, 不难得到:鸡的只数=( 4n- m)÷( 4- 2) 。显然, 上面的运算是具体的, 是基于经验的, 但是, 正是这样的具体运算可以启发我们思考运算的道理, 进而归纳出计算规律

从上述一个案例可以看出, 对于归纳推理的教学而言, 有一个根本的思路应当是不变的,那就是: 从具体的数字出发进行计算, 在计算的过程中让学生感悟运算方法的道理;掌握从具体问题入手进行运算的方法, 积累最正确的思考数学问题的经验。此外,数学知识的形成依赖于直观, 在大多数情况下, 数学的结果是看出来的而不是证出来的,所谓看就是一种直观判断。使学生形成数学直观能力， 即直觉数学关系的智慧,是数学教学和学习极其重要的内容。对于归纳推理模式的把握, 是基于个体经验的,需要通过学生的实际操作和内心感悟, 是一种意会重于言传的东西, 就是在经历思维的过程中学会思维, 培学生学会思考,

学会想问题, 积累相应的直接经验。怎样想问题呢? 这就是,不仅要演绎地想问题, 还要归纳地想问题。教师在进行课堂教学时, 有些重点内可以让学生自己去想去做。对于难点问题, 最好的解决办法就是让学生把问题想透, 让他们自己讲出来。一个好的数学教育者应当在适当的场合设计并用适当的内容, 让学生参与数学活动, 体会知识形成的过程, 让学生感悟归纳推理的方法和效能。

参考文献

[ 1] 欧几里得.几何原本[ M ] .兰纪正等译.西安:陕西科学技术出版社,1990:4. [ 2] 金岳霖.形式逻辑[ M ].北京:人民出版社,2005:211-212.

[ 3] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[ M ] .陈昌平等译.上海:上海教育出版社,1995.

[ 4] 陈景润, 邵品琮.哥德巴赫猜想[ M] .沈阳:辽宁教育出版社,1987:103.