数值积分与常微分方程数值计算

一． 数值积分

数学上已经证明

?1041?x2dx??

成立，所以可以通过数值积分来计算?的近似值。

（1） 分别采用复化梯形公式、复化Simpson公式计算?的近似值。 选

择不同的步长h，对每种复化求积公式试将误差刻画成h的函数，并比较各方法的精度（做出误差与步长的对数函数图，横坐标是步长对数，纵坐标是绝对误差对数，两种应该是直线关系，其斜率就是方法的收敛阶 ）。另外，考虑是否存在某个h值，当低于这个值之后再继续减小h的值，计算不再有所改进？为什么？

（2） 实现Romberg求积方法，并重复上面的计算。

二、常微分方程初值问题数值计算

给定初值问题

其精确为

，

（1）分别按下列方案求它在节点

值解跟精确解是否吻合，考虑方法收敛阶是否跟理论吻合）。 方案I: 欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； 方案II: 改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； 方案III: 四阶标准龙格—库塔法、步长h = 0.1。

处的数值解及误

差。比较各方法的优缺，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图， 考虑数

（2）对于自变量 1