河北衡水中学2016高三内部数学试题 - 图文(2)

（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为??22?4?，

1?2.

8211?23?1,得???，也可用向量的夹角公式求?）.

（设扇形区域中心角为?，则tan??1141??23?1?，随机变量X的可能取值为：0,1,2,3. 在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为

8?813431121471P(X?0)?(1?)3?， P(X?1)?C3?()(1?)?，

85128851211211313P(X?2)?C32?()2(1?)?， P(X?3)?C3?()?，

885128512∴X的分布列为 X 0 1 2 3 343147211 P 5125125125123431472113?1??2??3??.………………（12分） ∴X的数学期望：E(X)?0?512512512512813?1?（或者：X～B?3,?，故E(X)?np?3??）.

88?8?平面区域V与平面区域U相交部分的面积为???2?19、

解】【法一】（Ⅰ）在线段BC1上取中点F，连结EF、DF.

则EF//DA1，且EF?DA1，∴EFDA1是平行四边形……3′ ∴A1E//FD，又A1E?平面BDC1，FD?平面BDC1， ∴A1E//平面BDC1.……5′

（Ⅱ）由A1E?B1C1，A1E?CC1，得A1E?平面CBB1C1.

过点E作EH?BC1于H，连结A1H.

则?A1HE为二面角A1?BC1?B1的平面角……8′ 在Rt?BB1C1中，由BB1?8，B1C1?4得

8545，∴EH?，又A1E?23， 55AE15∴tan?A1HE?1??3，∴?A1HE?60.……11′

EH2∴M在棱AA1上时，二面角M?BC1?B1总大于60. BC1边上的高为故棱AA1上不存在使二面角M?BC1?B1的大小为60的点M. ……12′ 【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则B??2,0,0?、D?2,4,0?、A1?2,8,0?、C10,8,23、C1??2,8,0?、E?1,8,3. ∴DB???4,?4,0?、DC1??2,4,2?????3?、AE???3,0,3?、AB???4,?8,0?、AC???2,0,23?、

1111BB1??0,8,0?、BC1?2,8,23.……4′

??

（Ⅰ）∵A1E?1DB?DC1且A1E?平面BDC1， 2∴A1E//平面BDC1.……5′

???3?（Ⅱ）取m??3,?，则m?A1B?0，m?A1C1?0. ,1???2??∴m?A1B，m?A1C1，即m为面A1BC1的一个法向量………7′ 同理，取n??3,0,1，则n?BB1?0，n?BC1?0. ∴n?BB1，n?BC1，n为平面B1BC1的一个法向量……9′

??cos?m,n??又∵m?nm?n??219，∴二面角M?BC1?B1为arccos215?arctan. 21915?3，∴二面角M?BC1?B1大于60. ……11′ 2∴M在棱AA1上时，二面角M?BC1?B1总大于60.

故棱AA1上不存在使二面角M?BC1?B1的大小为60的点M. ……12′ 20. 解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为

（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由

2

2

消去y得

2

（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0，

2222222

则△=64kb﹣16（1+4kb）（b﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0， 且

，

2

．

2

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=kx1x2+km（x1+x2）+m． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以

=k，

2

即+m=0，又m≠0，

2

所以k=，即k=

2

．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

22

0＜m＜2且m≠1．

设d为点O到直线l的距离， 则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

，

21.

所以a≥(?

12x0?x0)max，x0?(0,3] 21211当x0?1时，?x0?x0取得最大值，所以a≥………8分

2222(3)因为方程2mf(x)?x有唯一实数解，

m?m2?4m1?1，解得m?……………12分 因为h(1)?0，所以方程（*）的解为x2?1，即22

??22. （Ⅰ）证明：AB 为直径，??ACB?2,?CAB??ABC?2，

??PAC??ABC??PAC??CAB??2

?PA?AB,AB为直径，?PA为圆的切线…………………… 4分

（Ⅱ）CE?6k,ED?5k,,AE?2m,EB?3m ?AE?EB?CE?ED?m?5k

??AEC∽?DEB?BD38?m6k?BD?45 ??CEB∽?AED?BC225m2?643k225AD2?25m2?80?(m)?m?2,k?5 ?AB?10,BD?45在直角三角形ADB中sin?BAD?BDAB?4510?255 ??BCE??BAD?sin?BCE?255…………………… 10分 ?23. （Ⅰ）??x?3?tcos??2 (t为参数）…………………………………… 4分

???y?32?tsin??x?3?t（Ⅱ）??cos??2 (t为参数）代入x2?y2?1，得 ???y?32?tsin?t2?(3cos??3sin?)t?2?0 ，??0?sin(???66)?3 1PM?1PN?1t?1?t1?t2?(3cos??3sin?)?3sin(???)?2,3? 1t2t1t226?24.（Ⅰ）M??x|0?x?1?，a,b?M,

?0?a?1,0?b?1

ab?1?a?b?(a?1)(b?1)?0?ab?1?a?b……………………………………… 4分

（Ⅱ）h?2a?ba,h?ab,h?2b

4(a?b)4(a2?b2h3?)4?2abab?ab?ab?8

h??2,???………………………………………… 10分

25、（Ⅰ）f?(x)?x2?2bx?c，

f?(2?x)?f?(x)，

?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则b??1．

10分 ……

直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)，?f(3)?0，且f?(3)?4， 即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，解得c?1，d??3． 则f(x)?13x?x2?x?3． 32222??x?x,x?1,故f?(x)?x?2x?1?(x?1)，g(x)?x(x?1)?xx?1??

2??x?x,x?1.

其图像如图所示．当x2?x?（ⅰ）当0?m?1?21时，x?，根据图像得：

241时，g(x)最大值为m?m2； 2（ⅱ）当

11?21时，g(x)最大值为； ?m?2241?2时，g(x)最大值为m2?m． ……………………………8分 22（ⅲ）当m?（Ⅱ）方法一：h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，则h(x?1?t)?2lnx?t， h(2x?2)?2ln2x?1，

当x?[0,1]时，2x?1?2x?1，

?不等式2lnx?t?2ln2x?1恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立，

由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立，

当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]， ??1?t?1， 又

当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，

因此，实数的取值范围是?1?t?0．……………………………………12分

y

2

1

?1O 11?222x

方法二：（数形结合法）作出函数y?2x?1,x?[0,1]的图像，其图像为线段AB（如图），

?y?x?t的图像过点A时，t??1或t?1， ?要使不等式x?t?2x?1对x?[0,1]恒成立，

必须?1?t?1， 又

当函数h(x?1?t)有意义时，x?t，

?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，

因此，实数的取值范围是?1?t?0． …………………………………12分

方法三：

h(x)?ln(x?1)2， h(x)的定义域是{xx?1}，

?要使h(x?1?t)恒有意义，必须t?x恒成立，

x?[0,1]，?t?[0,1]，即t?0或t?1． ①

由h(x?1?t)?h(2x?2)得(x?t)?(2x?1)， 即3x?(4?2t)x?1?t?0对x?[0,1]恒成立， 令?(x)?3x?(4?2t)x?1?t，?(x)的对称轴为x??2222222?t， 32?t??2?t?2?t?1,?0,?0???1,????则有?或?或? 333????(4?2t)2?4?3?(1?t2)?0???(0)?0??(1)?0?解得?1?t?1． ②

综合①、②，实数的取值范围是?1?t?0． ………………………………12分

y4B32A1?2?1O 1234x