【创新设计】2016高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定

第 3讲

圆锥曲线中的定点与定值、最值与 范围问题

高考定位

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高

考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷

的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.

真题感悟x2 y2 2 (2015· 全国Ⅱ卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ， 点 a b 2 (2, 2)在 C 上. (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A, B, 线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积 为定值.

a2-b2 2 4 2 (1)解 由题意得 a = , 2+ 2=1, 2 a b 2 2 x y 解得 a2=8,b2=4.所以 C 的方程为 8 + 4 =1. (2)证明 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), x2 y2 M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 8 + 4 =1 得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. x1+x2 -2kb b 故 xM= = 2 ,yM=k· xM+b= 2 . 2 2k +1 2k +1 1 yM 于是直线 OM 的斜率 kOM=x =-2k, M 1 即 kOM· k=-2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

考点整合

1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那 么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例

关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引 进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒 成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、 三角形面积的最 值等 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆 上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|∈[b,a]; ②|PF1|∈[a-c,a+c]; ③|PF1|· |PF2|∈[b2,a2]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2.

(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P 为双 a b 曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a;②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2=2px(p>0)上的任一点，F 为焦点，则有 p ①|PF|≥2; ②A(m,n)为一定点，则|PA|+|PF|有最小值.

3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立

目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1) 距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和 平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线 的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆 锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点

就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的

坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.

(2) 斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围， 如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体 分析，得出相应的不等关系. (3) 面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，

可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.

热点一 定点与定值问题[微题型1] 定点的探究与证明 x2 y2 【例 1-1】已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的短轴长为 2,离心2 率为 ，过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，O 2 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N,证明：直线 AN 恒过一定点.

(1)解

2 c 由题意知 b=1,e=a= ,得 a2=2c2=2a2-2b2,故 a2 2

x2 2 =2.故所求椭圆 C 的方程为： 2 +y =1. (2)证明 设直线 l 的方程为 y=k(x-2), y=k(x-2), 2 2 2 2 2 则由 x 得 (1 + 2 k ) x - 8 k x + 8 k -2=0. 2 +y =1, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k2-2 8k2 则 x1 +x2 = x2 = 2,x1· 2. 1+2k 1+2k

由对称性可知 N(x2,-y2),定点在 x 轴上， y1+y2 直线 AN:y-y1= (x-x1). x1-x2 y1(x1-x2) x1y2+x2y1 令 y=0 得：x=x1- = y1+y2 y1+y2 2kx1x2-2k(x1+x2) 2x1x2-2(x1+x2) = = k(x1+x2-4) x1+x2-4 16k2-4 16k2 2- 1+2k 1+2k2 = =1, 8k2 2-4 1+2k 故直线 AN 恒过定点(1,0).

探究提高

动直线l过定点问题，解法：设动直线方程

(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,

得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).

[微题型2] 定值的探究与证明x2 y2 【例 1-2】 (2015· 成都模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两 个焦点分别为 F1(- 2,0),F2( 2,0),点 M(1,0)与椭圆短轴 的两个端点的连线相互垂直. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(1, 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点， 设点 N(3, 2),记直线 AN,BN 的斜率分别为 k1,k2,求证：k1+k2 为定值.

(1)解

依题意，得 c= 2,所以 a2-b2=2,

由点 M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得 b=|OM| x2 2 =1,所以 a= 3,故椭圆 C 的方程为 3 +y =1. x=1, 2 (2)证明 当直线 l 的斜率不存在时，由 x 2 + y =1, 3 6 解得 x=1,y=± 3 . 6 6 2- 3 2+ 3 6 6 设 A 1, ,B 1,- ,则 k1+k2= 2 + 2 =2 为定值. 3 3

当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x-1). x2 2 将 y=k(x-1)代入 +y =1 化简整理，得(3k2+1)x2-6k2x+3k2 3 -3=0,依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，2 3 k -3 6k

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 2

又 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2-y1 2-y2 所以 k1+k2= + 3-x1 3-x2 (2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1) = (3-x1)(3-x2)