苏教版高中数学选修2-1第1章常用逻辑用语1.1.1含答案

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苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义

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§1.1 命题及其关系

1.1.1 四种命题 学习目标 1.了解命题的概念和分类.

2.能判断命题的真假.

3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.

4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．

知识点一 命题的概念

思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．

(1)这幅画真漂亮！

(2)求证3是无理数；

(3)菱形是平行四边形吗？

(4)等腰三角形的两底角相等；

(5)x ＞2012；

(6)若x 2＝20122，则x ＝2012.

答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．

梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题．

(2)分类

命题????? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 知识点二 命题的构成形式

1．命题的一般形式为“若p 则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．

2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．

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知识点三 四种命题及其关系

思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题． 梳理 (1)四种命题的概念

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题间的真假关系

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.

1．命题均能判断其真假．(√) 2．我们所学习过的定理均为命题．(√)

3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×) 4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)

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类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念

例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)π3

是有理数； (2)3x 2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0；

(5)一个数的算术平方根一定是负数；

(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．

考点 命题的定义及分类

题点 命题的定义

解 (1)“π3

是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．

(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点

(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．

(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．

跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)

①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！

考点 命题的定义及分类

题点 命题的定义

答案 ①②③

解析 依据命题定义，得①②③为命题．

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4 命题角度2 命题真假的判断

例2 给定下列命题：

①若a >b ，则2a >2b ；

②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；

③直线x ＝π2

是函数y ＝sin x 的一条对称轴； ④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．

其中为真命题的是________．(填序号)

考点 命题的真假判断

题点 命题真假的判断

答案 ①③④

解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2

＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，

从而得B 为钝角，所以④为真命题．

引申探究

1．本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？

解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是

锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．

2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形．

答案 直角

解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．

反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：

(1)2是无限循环小数；

(2)x 2－3x ＋2＝0；

(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(5)当x ＝4时，2x ＋1＞0.

解 (1)能判断真假，是命题，是假命题．

(2)不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．

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(3)不能判断真假，不是命题．

(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．

(5)能判断真假，是命题，是真命题．

类型二四种命题的关系及真假判断

命题角度1四种命题的写法

例3把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.

逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.

逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.

逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.

(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．

逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．

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