期权定价理论介绍(1)

期权定价理论介绍(1)

期权定价理论介绍（1）

资料来源：上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义 朱小斌整理

　　期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所--芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克-斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。
　　期权定价理论并不是起源于布莱克-斯科尔斯定价模型（以下记为B-S定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B-S定价理论。
　　
一、预备知识
（一）连续复利
　　我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。
　　假设数额为A的资金，以年利率r投资了n年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为。如果每年计m次利息，则终值为：。
　　当m趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A以利率r投资n年后，将达到：。
　　对一笔以利率r连续复利n年的资金，其终值为现值乘以，而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金，其现值为终值是乘上。
　　在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S投资股票，期望以复利μ计息，经过T时期后（T一般以
年为单位），股票的期望价格为：，从而可得：。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。

（二）股票价格的行为过程
　　众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某

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种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。
　　1、基本的维纳过程
　　要理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的变化。如果满足：
（1）Δz（6.1）
其中，是服从标准正态分布N（0，1）的一个随机变量；
（2）对于任何两个不同的时间间隔Δt，Δz的值相互独立。
　　则称变量z遵循基本维纳过程。
由（1）知，Δz也服从正态分布，且其均值为0，方差为Δt，标准差为。
由（2)知，z遵循马尔科夫过程。
　　设z值在时间T后的增量为，这可以被看作在N个长度为Δt的小时间间隔后z的变化的总量。其中，从而
　　 (6.2)
　　其中是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而也服从正态分布，其均值为0，方差为，标准差为。
另外，6.1式的极限形式可表示为： (6.3)
　　2、一般化的维纳过程
　　变量x的一般化维纳过程定义如下：
　　(6.4)
其中为常数，为同6.3式的基本维纳过程。
项表示变量x在单位时间内的漂移量，其期望值为。
　　项可被看作为增加到x轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的倍。
在缺省项的情况下，方程变为：
对其积分可得：
其中x0为变量x在零时刻的值。经过t时间后，x增加的值为。
6.4式的离散形式为：
(6.5)
　　从而，具有正态分布，且的均值为，方差为，标准差为。
　　经过时间T后，值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为，方差为，标准差为。
　　方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为，方差率（即单位时间的方差）的期望值为。如图6.1所示。

　　3、ITO过程（ITO process）
ITO过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：
　　
　　ITO过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。
　　在B-S期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S的变动可用瞬时期望漂移率为
，瞬时方差率为的ITO过程来表达。表示为：
(6.6)
(6.7)
　　这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的方差率恒为0时：，得：。其中，是零时刻的股价。这说明了当方差率为0 时，股价以单位时间为的连续复利方式增长。
6.7式的离散形式为：

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(6.8)
　　例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即，则股票价格的行为过程为：

化为离散形式：
　　方程6.8的左边是短时间后股票的收益比, 项是这一收益的期望值,项是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差)为,该方程表明服从均值为,方差为的正态分布。即：
　　
4、ITO定理和股票价格的对数正态分布
　　由前面的讨论知道，股价S的运动遵循ITO过程：
　　如果变量G是股价S和时间t的函数，即G=G（S，t）
　　由泰勒展开式，有：
　　 (6.9)
　　由6.8式得，
　　
　　因此，
　　由于服从标准正态分布，所以
　　因此的期望值为，其方差的阶数为。当趋于0时，变为非随机项，且等于该值对的期望值，所以就变成非随机项，且当趋向于零时，其值等于。将上述结果代入6.9式，且令和趋向于零，得其微分形式：
　　 (6.10)
　　这就是ITO定理。它表明ITO过程S和时间t的函数G也遵循ITO过程。
　　由于G是S的函数，因此G与S都受到同一个基本的不确定性来源的影响。
　　上式中，令，得：
　　这表明G遵循恒定的漂移率为，方差率为的一般化维纳过程。由前面的结果知，在当前时刻t0和将来某一时刻t1之间G的变化是正态分布，
　　均值为：
　　方差为：
　　其中T为时间间隔t1－t0。
　　t0时刻G的值为，t1时刻G的值为。其中ST是T时刻的股票价格，因此在T期间G的变化为：。从而有：
（6.11）


　　这表明，当S给定时，ST服从对数正态分布，且有：
　　
　　
　　
　　

　　另外，由6.11式得：


　　而我们又知道，时刻t0与t1之间的连续复利年收益率 …… 此处隐藏：1172字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……