数学模型(姜启源) 第九章 概率模型

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第九章 概率模型9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型

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随机模型

确定性因素和随机性因素

随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型

随机性模型 马氏链模型

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9.1 传送系统的效率背 景传送带 挂钩 产品 工作台

工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走, 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多. 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多. 在生产进入稳态后, 在生产进入稳态后,给出衡量传送带效 率的指标,研究提高传送带效率 传送带效率的途径 率的指标,研究提高传送带效率的途径

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问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转, 生产周期相同, 定工人们的生产周期相同 定工人们的生产周期相同,即每人作完一件产品 后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产 要么恰有空钩经过他的工作台, 品挂上运走,要么没有空钩经过, 品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产. 件产品并立即投入下件产品的生产. 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例 作为衡量传送带效率的数量指标. 比例, 总数的比例,作为衡量传送带效率的数量指标. 工人们生产周期虽然相同,但稳态下每人生产 工人们生产周期虽然相同, 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的, 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的, 任一时刻的可能性相同. 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.

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模型假设1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立, ) 个工作台均匀排列, 个工人生产相互独立 个工作台均匀排列 个工人生产相互独立, 生产周期是常数; 生产周期是常数; 2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在 )生产进入稳态, 一个周期内是等可能 等可能的 一个周期内是等可能的; 3)一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 )一周期内 个均匀排列的挂钩 个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 )每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统. 若该钩非空,则

这件产品被放下,退出运送系统.

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模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作s, 传送带效率为一周期内运走的产品数 待定) 待定)与生产总数 n(已知)之比,记作 D=s /n (已知)之比, 工人考虑还是从挂钩考虑 哪个方便? 考虑还是从挂钩考虑, 为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个方便? 若求出一周期内每只挂钩非空的概率 ,则 s=mp 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p, 如 何 求 概 率 设每只挂钩为空的概率为q,则 p=1-q 设每只挂钩为空的概率为 , 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r, 设每只挂钩不被一工人触到的概率为 ,则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u, 设每只挂钩被一工人触到的概率为 ,则 r=1-u 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 一周期内有 个挂钩通过每一工作台的上方 p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n

u=1/m

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模型解释传送带效率(一周期内运走 传送带效率 一周期内运走 m 1 n D = [1 (1 ) ] 产品数与生产总数之比) 产品数与生产总数之比) n m 一周期运行的)挂钩数 远大于工作台数n, 若(一周期运行的 挂钩数 远大于工作台数 则 一周期运行的 挂钩数m远大于工作台数

m n n ( n 1) n 1 D ≈ [1 (1 + )] = 1 2 n m 2m 2m定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比) 一周期内未运走产品数与生产总数之比) 定义 一周期内未运走产品数与生产总数之比 远大于1时 成正比, 当n远大于 时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比,与m成反比 远大于 与 成正比 成反比 增加m 若n=10, m=40, 提高效率 增加 D≈87.5% (89.4%) ≈ 的途径: 的途径: 习题 习题1

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9.2 报童的诀窍报童售报: 零售价 零售价) 购进价) 退回价) 报童售报: a (零售价 > b(购进价 > c(退回价 购进价 退回价

问 售出一份赚 a-b;退回一份赔 b-c ; 题 分 购进太少→不够销售→赚钱少 购进太少→不够销售→ 析应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 购进太多→卖不完退回→ 购进太多→卖不完退回→赔钱

每天购进多少份可使收入最大? 每天购进多少份可使收入最大? 存在一个合 适的购进量

每天收入是随机的

优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望

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准 备 建 模

调查需求量的随机规律——每天 每天 调查需求量的随机规律 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 设每天购进 n 份,日平均收入为 G(n) 已知售出一份赚 a-b;退回一份赔 b-c ;

r ≤ n 售出 r 赚 ( a b ) r 退回 n r 赔 (b c )( n r )r > n 售出n 赚(a b)n

G(n) = ∑[(a b)r (b c)(n r)] f (r ) + ∑ (a b)nf (r)r =0 r =n+1

n

∞

求 n 使 G(n) 最大

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f (r ) p (r ) (概率密度) n ∞ G(n) = ∫0 [(a b)r (b c)(n r)]p(r)dr + ∫n (a b)np(r

)dr将r视为连续变量 视为连续变量

求解

dG ( a b ) np ( n ) n (b c ) p ( r ) dr = ∫0 dn ∞ (a b)np(n) + ∫ (a b) p(r )drn

= (b c) ∫ p(r )dr + (a b) ∫ p(r )dr0 n

n

∞

dG =0 dn

∫ p ( r ) dr = a b b c ∫ p ( r ) dr0 ∞ n

n

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结果解释n

∫ p ( r ) dr = a b b c ∫ p ( r ) dr0 ∞ n

n

∫ p ( r ) dr = P , ∫ p ( r ) dr = P0 1 n

∞

2

P1 a b 取n使 使 = P2 b ca-b ~售出一份赚的钱 售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱 退回一份赔的钱

p

P1 0

P2 n r

(a b) ↑ n ↑, (b c) ↑ n ↓

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9.3 随机存贮策略问 题以周为时间单位;一周的商品销售量为随机; 以周为时间单位;一周的商品销售量为随机; 周末根据库存决定是否订货,供下周销售. 周末根据库存决定是否订货,供下周销售. (s, S) 存贮策略 制订下界s, 上界S,当周末库存小于s 时订货, 制订下界 上界 ,当周末库存小于 时订货, 使下周初的库存达到S; 否则,不订货. 使下周初的库存达到 否则,不订货. 考虑订货费,存贮费,缺货费,购进费, 考虑订货费,存贮费,缺货费,购进费,制订 存贮策略, 平均意义下) (s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小

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模型假设 每次订货费 0, 每件商品购进价 1,每件商品 每次订货费c 每件商品购进价c 每件商品 一周贮存费c 每件商品缺货损失费 每件商品缺货损失费c 一周贮存费 2,每件商品缺货损失费 3 (c …… 此处隐藏：3277字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……