3.3柯西积分公式及其推论

第三章 复变函数的积分第3节 柯西公式及其推论 节

柯西公式：设f(z)在以圆

C :| z z0 |= r0 (0 < r0 < +∞)为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。 考虑积分

f ( z) I =∫ dz C z z 0

则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在； f ( z) (2)在上述闭圆盘上 z z 不解析，I的值不 0 一定为0,

柯西公式： I = 2πi. 例如：f ( z ) ≡ 1时，现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr, 由柯西定理，得

∫

C

f ( z) f ( z) dz = ∫ dz Cr z z z z0 0

因此，I的值只f(z)与在z0点附近的值有关。 iθ 令， z z0 = ρe

柯西公式：则有

I = i ∫ f ( z0 + ρe )dθC

iθ

由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有

I = 2πif ( z0 ),

即

1 f ( z) f ( z0 ) = dz ∫C z z0 2πi

事实上，当r趋近于0时，有

柯西公式：

∫

C

f ( z ) f ( z0 ) + f ( z0 ) f ( z) dz = ∫ dz Cr z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 1 dz + ∫ dz = f ( z0 ) ∫ Cr z z Cr z z0 0

由于由f(z)在点z0的连续性，所以

ε > 0, δ > 0(δ ≤ r0 ) 使得当 0 < r < δ , z ∈ Cr时， | f ( z ) f ( z0 ) |< ε

柯西公式：因此

|∫

Cr

f ( z ) f ( z0 ) ε dz |≤ 2πr = 2πε z z0 r1 dz = 2πi z z0

即当r趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋 近于0;而

∫

Cr

因此，结论成立。

定理4 .1(柯西公式)定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 定理 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 D 上 解析，那么在内任一点z,有

1 f (ζ ) f ( z) = ∫C ζ z dζ 2πi其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我 们称它为柯西公式。

注解：注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它 在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的 值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之 一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常 重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理 意义。

定理4.1的证明： 证明：设 z ∈ D ,显然函数

f (ζ ) ζ z

在满足 ζ ∈ D , ζ ≠ z 的点 ζ 处解析。 以z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径 为r,边界为圆Cr。 在 D 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集 是一个闭区域 Dρ 。

定理4.1的证明：C0

C2 C1

z

Cρ

定理4.1的证明： ζ 在 Dρ 上， 的函数 f (ζ ) 以及解析，所以有

f (ζ ) ζ z

f (ζ ) f (ζ ) ∫C ζ z dζ = ∫Cρ ζ z dζ其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的， 沿Cr 的积分是按反时针方向取的。因此，结论 成立。

定理4.2(高阶导数公式):定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 定理 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域D 上解析，

那么f(z)在D内有任意阶导数

f

(n)

n! f (ζ ) ( z) = ∫C (ζ z )n+1 dζ (n = 1,2,3,...) 2πi 1 f (ζ ) ( f ( z) = ∫C ζ z dζ ) 2πi

证明：先证明结论关于n=1时成立。设z + h ∈ D 是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式 也趋近于0f ( z + h) f ( z ) 1 f (ζ ) ∫C (ζ z ) 2 dζ h 2πi

高阶导数公式：

1 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) = [ ∫C ζ z h dζ 2πi ∫C ζ z dζ h 2πi

h f (ζ ) ∫C (ζ z ) 2 dζ ] 2πi

h f (ζ ) = ∫C (ζ z h)(ζ z )2 dζ 2πi

高阶导数公式：现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为 半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取 z+h,使得0<|h|<d,那么当 ζ ∈ D时

| ζ z |> d , | ζ z h |> d ,

设|f(z)|在C上的一个上界是M,并且设C的长度 是L,于是我们有

h f (ζ ) | h | ML | ∫C (ζ z h)(ζ z )2 dζ |≤ 2π d 2 , 2πi

因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。

高阶导数公式：现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时， 结论成立。取z及z+h同上，那么有 (k ) (k ) f ( z + h) f ( z ) ( k + 1)! f (ζ ) ∫C (ζ z ) k +2 dζ h 2πi 1 k! f (ζ ) k! f (ζ ) = [ ∫C (ζ z h) k +1 dζ 2πi ∫C (ζ z ) k +1 dζ ] h 2πi ( k + 1)! f (ζ ) ∫C (ζ z ) k +2 dζ 2πik! (k + 1)(ζ z ) k + h 2O (1) (k + 1)! f (ζ ) = ∫C f (ζ ) (ζ z h)k +1 (ζ z )k +1 dζ 2πi ∫C (ζ z )k +2 dζ 2πih

高阶导数公式：(k + 1)! 1 1 = ∫C f (ζ )[(ζ z h) k +1 (ζ z ) (ζ z) k +2 ]dζ + hO(1) 2πi

由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0, 于是定理的结论当n=k+1时成立。