空间向量与垂直关系(公开课)

导语直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线 的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直 线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与 直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间 又有什么联系呢？

在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、

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第三章 空间向量与立体几何

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第2课时 空间向量与垂直关系

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第三章 空间向量与立体几何

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知识点 空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直 设直线l的方向 线面垂直 设直线l的方向 面面垂直 设平面α的法向量u =(a1,b1,c1),平

向量为a=(a1,

向量是a=(a1,

a2,a3),直线m b1,c1),平面α

面β的法向量为v= 的方向向量为b 的法向量n=(a2, (a2,b2,c2),则 =(b1,b2,b3), b2,c2),则l⊥α α⊥β . a∥n 则 l⊥m a⊥b . . u·v=0工具第三章 空间向量与立体几何

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练习 1.若平面α、β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-

1,-2),并且α⊥β,则x的值为( B ) A.10 1 C.2 B.-10 1 D.-2

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第三章 空间向量与立体几何

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2.若直线l的方向向量为a=(-1,0,-2),平面α的法向量为u=(4,0,8),则( A.l∥α C.l α ) B.l⊥α D.l与α斜交

解析： ∵a∥u,∴l⊥α. 答案： B

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第三章 空间向量与立体几何

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→ → → → → 3.已知AB =(1,5,-2),BC =(3,1,z),若AB ⊥BC ,BP =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x=________,y =________,z=________.

40 15 答案： 7 - 7 4

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例题选讲

已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1,M 是 1 底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN=4CC1. 求证：AB1⊥MN.

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→ → → [解题过程] 证法一：设AB=a,AC=b,AA1=c, 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|=|b|=|c|=1,a· c=b· c=0, →1=a+c,AM=1(a+b), → AB 2 → =b+1c,MN=AN-AM=-1a+1b+1c, → → → AN 4 2 2 4 →1· =(a+c)· 1a+1b+1c → - ∴AB MN 2 2 4

1 1 1 =-2+2cos 60° +0-0+0+4=0. → → ∴AB1⊥MN, ∴AB1⊥MN.工具第三章 空间向量与立体几何

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证法二：设AB中点为O,作OO1∥AA1. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系. 由已知得A C 0, 1 - ,0,0 2

,B

1 ,0,0 2

,

3 3 1 ,0 ,N 0, 2 ,4 , 2

1 B1 2,0,1 ,

∵M为BC中点， 1 3 ∴M , ,0 . 4 4 1 3 1 → → ∴MN= - , ,4 ,AB1=(1,0,

1), 4 4

1 1 → AB → ∴MN· 1=-4+0+4=0. → → ∴MN⊥AB1, ∴AB1⊥MN.

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[题后感悟] 用向量法证明空间两条直线相互垂直，其主 要思路是证明两直线的方向向量相互垂直. ,

(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准 确地写出相关点的坐标. → (2)利用基向量法证明时关键是能正确表示出向量 AB1 , → → MN → MN,通过数量积运算说明AB1· =0.

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如图所示，正方体ABCD- A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中

点.求证：MN⊥平面A1BD.

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1 1 MN DA1 0 0 2 2 1 1 MN DB 0 0 2 2 MN DA1 , MN DB, MN DA1 , MN DB MN 平面A1BD工具第三章 空间向量与立体几何

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[题后感悟] 用向量法证明线面垂直的方法与步骤

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[解题过程] 证法一：如图，建立空间直角坐标 系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0, 3),C1(0,1, 3), ∵D为BC的中点， ∴D点坐标为(1,1,0), → → ∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),

→ AD → → AA → ∵BC· =-2+2+0=0,BC· 1=0+0+0=0, → → → → ∴BC⊥AD,BC⊥AA1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1, 又AD∩AA1=A,∴BC⊥平面ADA1, 而BC 平面BCC1B1. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.工具第三章 空间向量与立体几何

→ AA1=(0,0, 3),

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→ → 证法二：同证法一，得AA1=(0,0, 3),AD=(1,1,0), → → BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1, 3), 设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). → n1· 1=0 AA 由 n1· →=0 AD 3z =0 1 ,得 x1+y1=0

,

令y1=-1,得x1=1,z1=0, ∴n1=(1,-1,0). n2· →=0 BC 由 → n2· 1=0 CC -2x +2y =0 2 2 ,得 -y2+ 3z2=0

.

令y2=1,得x2=1,z2= ∴n2= 1,1,

3 , 3

3 . 3

∴n1· 2=1-1+0=0,∴n1⊥n2, n ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

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