高数第三章 习题课

主要内容 一、 微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系f (a ) f (b)

罗尔定理 f ( ) 0F ( x )y x f ( x) f (a ) f (b)y

拉格朗日中值定理f (b) f (a ) f ( ) b a

F ( x) x

a b x 柯西中值定理

o

y

n 0 y f ( x)

泰勒中值定理

f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( )

o f ( x0 )( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) a x( n 1) n 1 1 ( n f ( )( x x ) 0 2 1) ! n 1 ( n) n f ( x )( x x ) 0 0 !

b

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式

(3) 证明有关中值问题的结论

3

3. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数 . 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在, 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . 可考虑用 (2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 柯西中值定理 . 必须多次应用 (3)若结论中含两个或两个以上的中值 , 中值定理 .

(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.4

常用函数的麦克劳林公式2 n 1 x3 x5 x sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)! 2n x2 x4 x6 n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!n 1 x2 x3 x ln(1 x ) x ( 1)n o( x n 1 ) 2 3 n 1

1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1) ( m n 1) n x o( x n ) n!

5

二、 导数应用1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 ,拐点 ,渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题

目标函数的建立与简化 最值的判别问题

3. 其他应用：求不定式极限； 几何应用；相关变化率； 证明不等式； 研究方程实根等。6

求极值的步骤:(1) 求导数 f ( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;

( 3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号或 f ( x ) 在 该点的符号, 判断极值点 ;(4) 求极值.

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最大值、最小值问题步骤:1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;

注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)

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函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形.确定函数 y f ( x ) 的定义域, 对函数进行 奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨 ' " 论,求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;第一步' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在

的点把函数的定义域划分成几个部分区间.

第二步

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确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点(可列表进行讨论) ;第三步

确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对

第四步

应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.10

弧微分 曲率 曲率圆10 . 弧微分 ds 1 y 2 dx .

d 2 .曲率 K lim . s 0 s ds0

曲率的计算公式 k (1

y 3 y 2 )2

.

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3 . 曲率圆定义 设曲线y f ( x )在点M ( x , y )处的曲率为

0

k ( k 0).在点M处的曲线的法线上 , 在凹的一侧 1 取一点D, 使 DM .以D为圆心, 为半径作 k 圆(如图), 称此圆为曲线在点 M处的曲率圆.

1 1 , k . k D是曲率中心,

是曲率半径.

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典型例题 例1.

且 试证存在

f ( ) f ( ) f ( )( b a ) f ( ) , 即要证 . 证：欲证 2 2 a b 2 2 b a

因 f ( x ) 在[a,b]上满足拉氏中值定理条件, 故有

f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b)又因 f ( x ) 及 x 2 在[a , b]上满足柯西定理条件 , 故有

①

②

a b f ( ), , (a , b) 将①代入②,化简得 f ( ) 13 2

例2. 设函数 f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且

f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) 3 , f ( 3 ) 1, 试证必存在 ( 0 , 3 ) , 使 f ( ) 0. (03考研) 证:因 f(x) 在[0,3]上连续, 所以在[0,2]上连续,且在故 [0,2]上有最大值M 与最小值m,

m f( 0 ), f( 1 ), f( 2 ) Mf ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 )

m

f( 0 ) f( 1 ) f( 2 ) 3

M

由介值定理,至少存在一点 c [0, 2] , 使

f (c ) 1 f( 1) f ( 2) 3 f (0) 分析: 所给条件可写为 1, f (3) 1 3 且 f(x) 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导, f ( c ) f ( 3 ) 1, f (0) f (1) f ( 2) 想到找一点 c , 使f (c) 3 f ( ) 0. 由罗尔定理知,必存在 ( c , 3 ) ( 0 , 3 ) , 使14

例3. 设实数

证明方程个实根 .

满足下述等式 an a1 a0 0 2 n 1 在(0,1)内至少有一

n 证:令 F ( x) a0 a1 x an x , 则可设 an n 1 a1 2 F ( x ) a0 x x x 2 n 1

且 F (0)

F (1) 0 , 由罗尔定理知存在一点 (0 ,1) , 使( 0, 1 ) 内至少有一个实根 . 即 a0 a1x an x 0 在15

n

a a 例4 (1) 求 lim n (arctan arctan ) ( a 0) n n n 12

1 a a lim n ( ) 2 n 1 n n 12

n2 a a lim 2 n n( n 1) 1

a a ( 在 与 之间) n n 1

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(2) 求极限

x2 lim 5 . x 0 1 5 x (

1 x )1 (1 5 x )5

解 分子关于 x 的次数为 2.

5 1 5x 1 1 1 1 2 2 1 (5 x ) ( 1) (5 x ) o( x ) 5 2! 5 5 1 x 2 x 2 o( x 2 ) x2 1 . 原式 lim 2 2 x 0 [1 x 2 x o( x )] (1 x ) 2(1 x ) 1 x

( 1)2!

x 2 0( x 2 )17