专题三 三角函数与平面向量的综合应用

高中数学复习资料

专题三 三角函数与平面向量的综合应用

1． 三角恒等变换

(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．

(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．

(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质

(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．

(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形

解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量

平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．

1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．

11π 9π cos 2－α sin 2＋α

3

答案 4

－sin α·sin α＝tan α.

11π9π－sin α·cos α cos 2－α sin 2α π

α sin －π－α cos 2

π

＋α sin －π－α cos 2

解析

高中数学复习资料

y3

根据三角函数的定义得tan α＝.

x43

所以11π 9π4αsinα cos 2 2

2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)3cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.

π

答案

6

解析 f(x)＝sin(x＋θ)3cos(x＋θ)

ππππx＋θ＋，由θkπ＋ (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝2sin 3 326π

0，)图象 3. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈ 2的一部分，则f(x)的解析式为____________． 2π答案 f(x)＝2sin 3＋6＋1

解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1. ππ

0，，得φ＝. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈ 26π

由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，

222π

得ω＝－2k＋k∈Z)．又π，

3ω2

∴0<ω<1.∴ω3

2π∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin 3x＋6＋1.

4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，

连接EC、ED，则sin∠CED＝________. 答案

10

10

π cos 2α sin －π－α

解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°， 在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1， ∴CE＝5，则sin∠CEB而∠CED＝45°－∠CEB， ∴sin∠CED＝

sin(45°

－∠CEB)

12

，cos∠CEB＝. 55

高中数学复习资料

＝＝

(cos∠CEB－sin∠CEB) 2

12 2＝×2 5 10

方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED＝，EC＝1＋2＝在△EDC中，由余弦定理得

CE2＋DE2－DC23cos∠CED＝＝10，

2CE·DE又0<∠CED<π，

∴sin∠CED1－cos∠CED ＝

10 21－ 10 10.

5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB

→→

＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取得最小值时，tan∠DPA的 值为________． 答案

12

35

解析 如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)， B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β， P(3，y) (0≤y≤2)．

→→

∴PD＝(－3,1－y)，PA＝(－3，－y)， 135→→2

y－2＋， ∴PD·PA＝y－y＋9＝ 24

11→→

3，， ∴当yPD·PA取得最小值，此时P 22→→

易知|DP|＝|AP|，α＝β. 3

在△ABP中，tan β＝＝6，

12

2tan

β12

tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝.

tanβ－

1

35

题型一 三角恒等变换

高中数学复习资料

π3sin α－cos 2α＋1π3π

α－ ＝例1 设<α<，sin 的值． 4 534tan α

思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． π3π

解 方法一 由<α<

34π3πππ

α－＝， 得α－<，又sin 451242π4

α－ 所以cos 4 5ππ

所以cos α＝cos[(α＋44

ππππ2α－cos －sin α－ sin ＝ ＝cos 4 4 41047所以sin α＝10

sin α＋2sin2α14＋5故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝.

sin α50cos απ32α－ ＝，得sin α－cos α方法二 由sin ， 4 5518

两边平方，得1－2sin αcos α＝，

257

即2sin αcos α＝25π3πππ由于<α<，故α<3432

32因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

254故sin α＋cos α＝，

5

72

解得sin α＝cos α＝下同方法一．

1010

探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．

π4 α＋7π 的值是 α－＋sin α＝ 已知cos ，则sin6 6 5

2A．－

54C

5答案 C

23B. 54D. 5

( )

高中数学复习资料

π434 απ＝4， α－ ＋sin α解析 cos α＋α＝sin 6 6552257ππ4α＋＝－sin α＋ ＝－所以sin 6 6 5题型二 三角函数的图象与性质

ππ

例2 (2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝

32

f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点， 点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

2π

(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．

3

思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．

2π

解 (1)由题意得T＝＝6.

π3

π

因为P(1，A)在y＝Asin(＋φ)的图象上，

3π

所以φ)＝1.

3ππ

又因为0<φ<，所以φ＝.

26(2)设点Q的坐标为(x

0，－A)．

ππ3π

由题意可知0＋，得x0＝4，所以Q(4，－A)．

3622π

连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝

3

RP2＋RQ2－PQ2A2＋9＋A2－ 9＋4A2 1

cos∠PRQ＝＝－，解得A2＝3.又A>0，所以A2RP·RQ2

2A9＋A＝3.

探究提高 本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点．

已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(

A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，

1

并且当x＝f(x)max＝2.

3

高中数学复习资料

(1)求f(x)的解析式；

2123(2)在闭区间 44上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如 …… 此处隐藏：9418字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……