1高考数学总复习__计数原理与排列组合课件

排列与组合 排列 组合 从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， 定义 m(m≤n)个不同元素按照 任取m(m≤n)个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别 与顺序有关 与顺序无关 判定 公式 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)! ( n nm)!

C

m n

n m !m!

n( n 1)( n 2) ( n m 1) m! n!

解排列组合问题的常见方法

(1)特殊元素(位置)优先安排。 (2)多个限定条件或含“至多”、“至少”问题， 合理分类合理分步。 (3)排列组合混合问题一般要先组合后排列，先整体 后局部。 (4)正难则反，等价转化。 (5)相邻问题，捆绑法。 (6)不相邻问题，插空法。 (7)定序问题、平均分组问题用除法。 (8)相同物品分配问题、名额分配问题用隔板法。 (9)数的大小排列问题，查字典法。 (10)可重复元素排列问题，住店法.

方法总结 (1).元素分析法,在解有限定元素的排列问题时，首先 考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。 (2).位置分析法,在解有限定位置的排列问题时，首先 考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。 (3).间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问 题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合 条件的排列数。 (4)树图法又称框图法，用树图或框图列出所有排列 (或组合),从而求出排列数。是解决多个限定条件的排 列组合问题的常用法. (5)消序法，定序问题、部分相同元素排列问题、平 均分组问题常用此法，先将所有元素全排列，再将特殊元 素在其位置上换位情况消去(通常除以特殊元素的全排列 数),只保留指定的一种顺序。

(1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览 一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不 同的选择方案共有( ) A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 (2)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一 个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数 是________.(用数字作答) 解析：(1) =240. (2) 答案：(1)B (2)78

排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1,a2, ,a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数. (1)八个元素排成一排，且a1,a2,a3,a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1,a2,a3,a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1,a2

,a3,a4四个元素互不相 邻，并且a5,a6,a7,a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素.

解答：(1)(捆绑法)先将a1,a2,a3,a4四个元素看成一 A 5 种排法，再排a1, 个元素与a5,a6,a7,a8排列一排，有 5 A 4 不同排法，根据分步计数原理知满足条件 a2,a3,a4有 4 4 5 的排列数为 A 5 A 4 =2 880. (2)(插空法)先排a5 ,a6 ,a7 ,a8 四个元素排成一排， A 4种排法；再将元素a1,a2,a3,a4插入由a5,a6,a7, 有 4 4 A 5种排法，根据分 a8间隔及两端的五个位置中的四个，有 4 步计数原理知：满足条件的排列数为 A 4 A 5 =2 880. 4 A 4 种排 (3)先排a5,a6,a7,a8,× × × ×;共有 4 法 ； 然 后 排 a1 , a2 , a3 , a4 排 在 ×□×□×□×□ 或 A 4 种排法；;根据分步计 □×□×□×□×中的□共有2 4 A 4 ×2 A 4 =1 152种排法. 数原理共有 4 4 4 A8 种排法，后排有A 4 种排法，由分步计数原 (4)前排有 4 4 理知共有 A8 A 4 =8!种排法. 4

方法总结 (1)若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这 几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。 (2)若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。 (3)前后排问题，直排法.

变式4 4个男同学，3个女同学站成一排. (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？ (5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)

解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共 有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排 好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素 的全排列，应有A5种排法，由分步计数的原理,有 =720 5 种不同排法. (2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间 及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条 件的排法共有 =1 440种不同排法. (3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人 排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视 为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样 总共有 =720种不同排法.

(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人 的空档中有 种排法.这样，总共有 =960

种不 同排法. (5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有 种排 法.然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按 身体高矮排列，故仅有一种排法.这样总共有 =840 种不同排法.

组合问题 【例5】7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试 问：(1)每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)某些盒子可空的放法共有多少种？ 解析(1)将7个相同小球，放入4个不同盒子，每个盒子 不空，即相当于把7个相同小球分成4组，每组都有小球， 一种分法对应一种放法，先将7个小球排成一排有1种排法， 在小球的中间的6个空挡中选3个放入隔板，有 放法， C3 6 3 C 故满足条件放法共有 种. 6 (2)将7个相同小球，放入4个不同盒子，某些盒子可空， 即相当于把7个相同小球分成4组，某些小组可以没小球， 需要3个隔板，一种分法对应一种放法，先将7个小球与3 个隔板所在位置排成一排有1种排法，再在这10个位置中 3 C10 选3个放入隔板其余放小球，有 放法，故满足条件放 3 C 法共有 种. 10

隔板法，又叫隔墙法，插板法，n件相同物品(n 个名额)分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。 若每个人至少1件物品(1个名额),则n件物品(n 名额)排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1 个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有 m Cn 1 种分法。 1 若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块 隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个 m 1 位置放隔板，有Cn m 1种方法，再将n件物品放入余下的位 置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右 可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种 m 1 分法，所以共有 Cn m 1种分法。

组合应用题解题思路1。有特殊元素，特殊优先。 2。正难则反，注意应用间接法。 3。平均分组问题用除法。 4。名额分配或相同物品(每组至少1个)分配问题用隔 板法。 5。含有“至多”、“至少”及多个限定条件的组合 问题，用分类讨论法。