04矩阵、05矩阵的运算

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第二章 矩阵及其运算§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 矩阵 矩阵的运算 逆矩阵 矩阵的分块法

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矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。 矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。从表 19世纪 面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符 面上看， 号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简 但是，正是这种“结构好的语言的好处， 洁的记法常常是深懊理论的源泉。 洁的记法常常是深懊理论的源泉。”(http://www.77cn.com.cnplace) 进入20世纪， 进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当 20世纪 成熟，作为研究课题已寿终正寝。 成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的 发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发 发展，各种快速算法相继涌现， 展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。 矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。

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矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个 数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅 在数学领域中占有重要的地位，而且在工程技 在数学领域中占有重要的地位，而且在工程技 术各领域中也有着广泛的应用. 术各领域中也有着广泛的应用.通过矩阵的图表 变换，可以使大脑协调发展，培养学生的创新 思维能力。-3-

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§2-1 矩阵一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换

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一、矩阵概念的引入矩阵：数字图像 高清电视分辨率：1920× 高清电视分辨率：1920×1080 我的手机：720× 我的手机：720×480 彩色的还要乘以3 彩色的还要乘以3

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B

例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A 、 、 、 城市之间开辟了若干航线， 城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示， 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地. 地指向目的地 城市间的航班图情况常用表格来表示: 城市间的航班图情况常用表格来表示 目的地

C

D

A始发地

A B C D

√ √

B

√ √

√ √

C

D其中√ 其中 表示有 航班

√-6-

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A A B C D

√

B

√ √ √

√ √

C

D

√

为了便于计算，把表中的√改成 ，空白地方填上0, 为了便于计算，把表中的 改成1,空白地方填上 ， 改成 就得到一个数表： 就得到一个数表：

0

1 1 0

1 0 0 1

1 1 00

0 0

1 0-7-

这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.

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例

某工厂生产四种货物， 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可

用数表表示为： 用数表表示为：

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a14 a24 a34

其中a 其中 ij 表示工厂向第 i 家商店 种货物的数量. 发送第 j 种货物的数量.

这四种货物的单价及单件重

量也可列成数表： 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

b11 b21 b31 b41

b12 b22 b32 b42-8-

其中b 种货物的单价， 其中 i 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量. 种货物的单件重量.

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二、矩阵的定义由 m×n 个数 aij ( i = 1, 2,L , m; j = 1, 2,L , n) 排成的 × m 行 n 列的数表 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n M M M am1 am 2 L amn 列矩阵， 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵. 记作 × 矩阵.

a11 a21 A= L am 1

a12 a22 L am 1

L a1n L a2 n L L L amn

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a11 a21 A= L am 1

a12 a22 L am 1

L a1n L a2 n L L L amn

简记为 A = Am×n = (aij )m×n = (aij ) 这 m×n 个数称为矩阵 的元素，简称为元. × 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 复矩阵

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行列式a11 a21 M a n1 = a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann a11 a21 L am 1

矩阵a12 a22 L am 1 L a1n L a2 n L L L amn

∑p1 p2 L pn

( 1)t ( p1 p2 L pn ) a1 p1 a2 p2 L anpn

行数等于列数 共有n 共有n2个元素

行数不等于列数 共有m 共有m×n个元素 本质上就是一个数表

det(aij )

(aij )m×n-11-

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三、特殊的矩阵1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵.可记作 An . 的矩阵， 阶方阵. 2. 只有一行的矩阵 A = (a1 , a2 ,L , an ) 称为行矩阵 或行向量 . 称为行矩阵 行向量) 行矩阵(或

a1 a2 称为列矩阵 或列向量 . 称为列矩阵 列向量) 列矩阵(或 只有一列的矩阵 B = M an 3. 元素全是零的矩阵称为零距阵.可记作 O . 例如： 元素全是零的矩阵称为零距阵 零距阵. 例如：

O2×2

0 0 = 0 0

O1×4 = ( 0 0 0 0 )-12-

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λ1 0 0 λ2 4. 形如 L L 0 0

0 0 的方阵称为对角阵 记作 对角阵. 的方阵称为对角阵. L L A = diag(λ1 , λ2 ,L, λn ) L λn L L

1 0 L 0 0 1 L 0 特别的， 称为单位阵 记作 En . 单位阵. 特别的，方阵 L L L L 称为单位阵. 0 0 L 1

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同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 同型矩阵 1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 为同型矩阵. 3 7 3 9

2. 两个矩阵 A = (aij ) 与 B = (bij )为同型矩阵，并且对应元 为同型矩阵， 素相等， 素相等，即 aij = bij ( i = 1, 2,L , m; j = 1, 2,L , n) 相等， 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .

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0 0 例如 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

≠ (0

0 0 0) .

注意：不同型的零矩阵是不相等的. 注意：不同型的零矩阵是不相等的.

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四、矩阵与线性变换n 个变量 x1 , x2 ,L , xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,L , ym 之间的 关系式 y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , y = a x + a x +L+ a x , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLL ym = am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn . 线性变换， 表示一个从变量 x1 , x2 ,L , xn 到变量 y1 , y2 ,L , ym 线性变换， 为常数. 其中 aij 为常数.-16-