大学高等数学第一章函数(习题精讲)

大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章 函 数

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第1章 函 数

§1.1 函数的概念与性质

1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）

（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+

（2

）2

112

a b a b +≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）

一般地，1212111n n x x x n

n x x x ++

+≤≤+++

（3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22

a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质

对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。

注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。

（1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈,

（2）单调性 1212,,x x I x x ?∈<

1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥?

?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x <???>??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()()()()()()f x f x f x y f x f x f x -=?

??-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点

注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。

（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。

常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

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2 arcsin 2x π

≤，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2x π

<，arccot x π<，(,)-∞+∞

3. 复合函数

设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ?=的值域为?Z ，且Φ≠?Z D f （空集），则称[])(x f y ?=为x 的复合函数。

4. 反函数 设1()

()f f f f y f x D Z y f x Z D -=???=??定义域为值域为定义域为值域为

注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；

1()f f x x -??=??

()f x f x Z ∈的；[]1()f f x x -= ()f x f x D ∈的 5. 初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

基本初等函数：幂函数μx y =（μ为实数）；指数函数x

a y =（0>a ，1≠a ）；对数函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .

６. 分段函数与幂指函数

分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；

幂指函数x

y x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。

§1.2 典型例题解析

例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集

分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于12x =-

，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1[,1]2

-

，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。

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3 解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x x x ?-->--∞-???+>-=+>--??+>-+∞???12(,)210(,1)22(1,)x x x ?<--∞-???=>-??>-+∞???

? (,2)(0,x ∈-∞

-+∞ 解法2 22(21)(1)x x +>- ? (2)0x x +> ? (,2)(0,x ∈-∞-+∞

1. 函数定义域的求法

解题思路

（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；

（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。

例4 求下列函数的定义域

（1

）1arcsin 4x y -=+； 解 211

41lg(2)020340x x x x x ?-≤???--≥??->?--≠?? ?

351221;4x x x x x -≤≤??≤??>??≠-≠? ? (](2,4)4,5

（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域 解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ? 1a x a

-≤≤- ()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ? 1a x a

≤≤+； ()()f x a f x a ++-的定义域：[]

[],1,1x a a a a ∈--+ 当1a a -<，12a >时，定义域为空集；当1a a -≥，12

a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -

2. 函数解析式的求法

解题思路

（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解；

（2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。

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（3）由[]()f x ?的表达式求)(x f 的一般方法是令()u x ?=，从中解出1()x u ?-=，

将其代入[]()f

x ?中可得()f u

例5 求下列函数解析式

（2）已知x x

bf x af sin )1()(=-+，()a b ≠, 求)(x f ； 解 令x t 1

-

=代入原式得 11()()sin()bf t af t t

+-=-，则 1()()sin 11()()sin()

af x bf x x

bf x af x x ?+-=????+-=-??

? )1sin sin (1)(2

2x b x a b a x f +-= （3）已知41

1

()ln ln(1)2

f x x x x +=-+,求)(x f ； 解法1

24

42221111111()ln ln(1)ln ln ln 1122122()2

x f x x x x x x x x x

+=-+===+++-

令1x t x +

=，则 2

11()ln 22f t t =- ? 211

()ln 22

f x x =- 解法2 将x 换成1

x

，得4111()ln ln(1)2f x x x x +=--+，和原式相加得

441111

2()ln(1)ln(1)22f x x x x

+=-+-+

222211111()ln()ln ()242f x x x x x x ??

+=-+=-+-????

令1x t x +

=，则 2

11()ln 22f t t =- ? 211

()ln 22

f x x =- 例6 求下列函数解析式

（1）已知221(ln )1x f x x -=+，()x ?的定义域为0x <，且[]()x f x e ?=，求()x ?

解 令ln u x =，2

2u

x e =，221()1

u u e f u e -=+，且[]()x

f x e ?=，则

2()2()11x x x e e e ??-=+ ? 2()

11x x x

e e e

?+=- ? 11()ln 21x x e x e ?+=-（0x <） （2）已知1

1(ln )ln 01

x x f x x x ->?=?

<≤?，求)(x f

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5 解 令ln u x =， u

x e =，则 110

()010u u u e e u f u u e u ?->?>=?<≤?≤? ? 10()0x e x f x x x ?->=?≤? 3. 利用定义确定函数的有关特性

解题思路

（1）若()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数；

（2）若T 是()f x 的周期，则()b ax f +的周期为/T a ；若()f x ，()g x 分别是以1T ，2T 12()T T ≠为周期的函数，则()()f x g x ±的周期为1T ，2T 的最小公倍数。

（3）将函数取绝 …… 此处隐藏：5177字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……