概率论与数理统计复习(3)

如果( 已知， 如果(X,Y)的分布函数 F ( x , y ) 已知，则 的分布函数为： 随机变量 X 的分布函数为：FX ( x ) = P {X ≤ x }= P { X ≤ x , Y < +∞}= lim F ( x , y )y → +∞

= F ( x , +∞ )

称为分布函数 F ( x , y ) 关于X的边缘分布函数. 关于X的边缘分布函数. 的分布函数为： 随机变量 Y 的分布函数为：

y

xx → +∞

FY ( y ) = P {Y ≤ y }= P { X < +∞, Y ≤ y} = lim F ( x , y )

= F ( +∞, y )

关于Y的边缘分布函数. 称为分布函数 F ( x , y ) 关于Y的边缘分布函数.

二、离散型随机向量的概率分布 定义3.3 定义3.3 如果二维随机向量( X , Y ) 的全部取值为 或至多可列个, 离散型的 有限个 或至多可列个, 则随机向量( X , Y )为离散型的.

1. 联合分布 定义3.4 是二维离散型随机向量, 定义3.4 设 ( X , Y )是二维离散型随机向量,可能 且取这些值的概率为: 的取值为( xi , y j ) i , j = 1,2, 3,... 且取这些值的概率为:pi j = P { X = xi , Y = y j 称上式为随机向量( X ,Y )

}

i , j = 1, 2,3,...

X 概率分布， 的概率分布， X和Y的 x 或 1 联合概率分布. 联合概率分布. x2 联合分布常用表格表示: 联合分布常用表格表示: M 联合分布具有性质: 联合分布具有性质: xi (1) 0 ≤ pi j ≤ 1 M (2) ∑ ∑ pi j = 1ij

Y y1p21 M pi 1 M

y2p22 M pi 2 M

...... ... ...

yip1 j p2 j M pij M

...... ... ...

p11 p12

三、连续型随机向量的概率密度函数 1.密度函数 1.密度函数 定义3.5 是二维随机向量, 定义3.5 设( X ,Y ) 是二维随机向量,其分布函数 如果存在非负可积的二元函数 非负可积 为 F ( x , y ). 如果存在非负可积的二元函数 f ( x , y ) 使得对于任意实数对 ( x , y ), 有F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y} = ∫x ∞

∫ ∞

y

f ( s , t ) ds dty

则称(X,Y)为 二维连续型随机向量 则称(X,Y)为 二维连续型随机向量 (X,Y) 连续型随机f ( x , y ) 称为(X,Y)的 概率密度函数 称为(X Y)的 (X,

联合密度函数. 或X与Y 的联合密度函数. 简称 密度函数. 密度函数. 记为 ( X ,Y ) ~ f ( x, y )

x

密度函数具有性质: 密度函数具有性质:(1) f ( x , y ) ≥ 0+∞ +∞

非负性) (非负性)D

(2) ∫ dx ∫ f ( x , y )dy = 1 (归一性) 归一性) ∞ ∞

(3) 对平面上任意可度量的区域D, 有 可度量的区域D

a ≤ x ≤ b 有 特殊地, 特殊地,对平面上的任一矩形区域 D : c ≤ y ≤ d dD

P {( X ,Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x , y ) dxdy

c0 a

P {a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d }= ∫∫ f ( x , y ) dxdyb

= ∫ dx a

b

∫c

d

D

f ( x , y ) dy

2.边缘密度函数 2.边缘密度函数 连续型随机向量 联合密度为 设连续型随机向量( X ,Y ) 的联合密度为 f ( x , y ) 连续型随机变量 其密度函数为 f X ( x ) 随机变量， 则 X 是连续型随机变量，f X ( x) = ∫+∞

∞

f ( x , y )d y

设连续型随机向量( X ,Y )的联合密度为 连续型随机向量 则 Y 是连续型随机变量，其密度函数为 fY ( y ) 连续型随机变量 随机变量，fY ( y ) = ∫+∞ ∞

f ( x , y )d x

离散型随机变量， 其联合概率 定理3.3 定理3.3 设X与Y是 离散型随机变量， 分布为 pi j = P { X = xi , Y = y j } ( i , j = 1, 2,3,...) 边缘 分布分别为 p , p ( i , j = 1,2,3,...) 则X与Y相互独立pi j = piX pY 的充要条件是 j Y y1 y2 ... y j ...XX i

Y j

( i , j = 1,2,3,...)

∑

x1 x2 M xi M

p11 p21 M pi 1 MY p1

p12 ... p22 ... M pi 2 ... MY p2

p1 j p2 j M pij M

... p1X X ... p2

∑

...

pY j

M ... p X i M ...

定理3.4 设连续型随机向量(X Y)的密度函数为 (X, 的密度函数为 定理3.4 设连续型随机向量(X,Y)f ( x , y ), 边缘密度分别为 f X ( x ) 和 fY ( y ), 则X与Y相互

独立的充分必要条件是f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y )

联合概率分布为 联合概率分布为 P { X = xi ,Y = y j }= pij , 则 E [ g( X ,Y ) ] =∑∑ g ( xi , y j ) piji j

三、随机变量函数 的期望 定理 设 g ( X , Y ) 是随机变量 X ,Y 的函数, 且 的函数, E [ g ( X ,Y ) ] 存在 (1)如果 ( X ,Y ) 是离散型随机向量, 存在, (1)如果 是离散型随机向量,i , j = 1, 2,L ,

例如： 例如：X0 1Y

1 p11 p21

3 p12 p22

( X ,Y ) ( 0, 1) ( 0, 3) (1, 1) (1, 3)g ( X ,Y ) g (0,1) g (0,3) g (1,1) g (1, 3) p11 p12 p21 p22 P

E [ g ( X ,Y ) ] = g ( 0,1) p11 + g ( 0,3) p12 + g (1,1) p21 + g (1, 3) p22

联合概率分布为 联合概率分布为 P { X = xi ,Y = y j }= pij , 则 E [ g( X ,Y ) ] =∑∑ g ( xi , y j ) piji j

三、随机变量函数的期望 定理 设 g ( X , Y ) 是随机变量 X ,Y 的函数, 且 的函数, E [ g ( X ,Y ) ] 存在 (1)如果 ( X ,Y ) 是离散型随机向量, 存在, (1)如果 是离散型随机向量,i , j = 1, 2,L ,

(2)如果 连续型随机向量 随机向量, (2)如果( X ,Y )是连续型随机向量,联合概率密度为f ( x, y) 则E [ g ( X ,Y ) ] = ∫+∞ ∞

∫

+∞

∞

g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy

设 X 1 , X 2 , L , X n 是n个相互独立 的随机 变量, 都存在， 则 变量, EX 1 , EX 2 , L , EX n 都存在， E ( X 1 X 2 L X n ) 也存在， 且 也存在，E ( X 1 X 2 L X n )= ( EX 1 ) ( EX 2 )L ( EX n )

未必有 E ( XY ) = ( EX )( EY ) 注意 1.当X与Y不独立时， 1.当 不独立时， 2. X 与 Y 独立X 1 , X 2 , L , X n 独立 E ( X 1 X 2 L X n ) = ( EX 1 ) ( EX 2 )L ( EX n )E ( XY ) = ( EX )( EY )

§3.4 随机向量的数字特征 对于二维随机向量 ( X , Y ) , 除了要讨论 X , Y 各自 的期望和方差外, 描述X 的期望和方差外, 还需要讨论 描述X与Y之间相互 关系的数字特征. 与相关系数. 关系的数字特征. 这就是协方差与相关系数. 一、协方差 定义3 是二维随机向量, 定义3.8 设(X,Y)是二维随机向量,EX , EY 均 存在, 存在， 存在, 如果 E [( X

EX )(Y EY ) ] 存在， 则称其为 随机变量X 协方差. 随机变量X和Y的协方差. 记为 cov( X ,Y ) 即 cov( X ,Y ) = E [( X EX )(Y EY ) ]随机变量 随机变量 数

cov( X ,Y ) = E [( X EX ) (Y EY )]= E ( X Y ) E ( X ) E (Y )

协方差具有以下性质: 协方差具有以下性质: (1) cov( X , X ) = DX(2) cov( X ,Y ) = cov(Y , X )

(3) cov(aX , bY ) = ab cov( X ,Y )

a , b 为任意常数. 为任意常数.

(4) cov(C , X ) = 0

C为任意常数. 为任意常数. (5) cov( X 1 + X 2 ,Y ) = cov( X 1 ,Y ) + cov( X 2 ,Y )cov( X ,Y ) = 0

(6) D( X ± Y ) = DX + DY ± 2cov( X ,Y )

X与 (7) X与Y独立

二.协方差矩阵 定义 对二维随机向量 ( X , Y ) ,称矩阵 Cov ( X , X ) V = Cov (Y , X )

Cov ( X ,Y ) DX Cov ( X ,Y ) = Cov ( X ,Y ) DY Cov (Y ,Y )

为随机向量( X , Y ) 的协方差矩阵. 协方差矩阵. …… 此处隐藏：3334字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……