专题二 三角函数与平面向量

专题二

三角函数与平面向量

从近几年的试题情况来看，高考对三角函数这一章的要求相 对以前明显降低了许多.因此，在平时的练习中，对于这一章的 内容，应该将精力集中在“基本概念和基本题型”上.有关三角

函数式的化简与三角函数求值的综合，就是广东高考命题的大方向，近五年中有四年是这类题型，分别是 2008 年、2009 年、2010 年和 2011 年.毫无疑问，这类题型(是广东高考的基本题型)务必 要认真学习，加以掌握.

从全国的高考试题看，考查最多的题型是前面利用降幂公式、 二倍角公式、辅助角公式；后面考查三角函数的性质，如奇偶性、 单调性、对称性、周期性和图象性质等.因为这种题型考查的公

式最多，对三角函数的性质覆盖最广，而且后面的命题千变万化，是考查三角的最佳选择，毫无疑问，这类题型是全国高考的基本 题型.

题型一

三角变换与求值的整合 1 π f(x)=2sin 3x-6 ,x∈R.

例 1:(2011 年广东)已知函数 (1)求 f(0)的值； (2)设 的值.

π π 10 6 0 , 3 α + α, β∈ f f(3β+2π)=5, 求 2 , 2 =13,

cos(α+β)

π 解析：(1)f(0)=2sin -6 =-1. π 10 5 (2)∵f 3α+2 =2sinα=13,∴sinα=13. π 12 又∵α∈ 0,2 ,∴cosα=13. π 6 3 ∵f(3β+2π)=2sin α+2 =2cosβ=5,∴cosβ=5. π 4 又∵β∈ 0,2 ,∴sinβ=5.

16 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=65.

对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、

2011 年连续四年都是考查三角变换及三角函数求值.这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此而放松对整章

知识系统的全面复习.

【互动探究】1.已知向量 a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直，其中 θ π ∈ 0,2 . (1)求 sinθ 和 cosθ 的值； π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cosφ,0<φ<2,求 cosφ 的值.

解：(1)∵a⊥b,∴a· b=sinθ-2cosθ=0,即 sinθ=2cosθ. 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1, 1 4 2 2 即 cos =5,∴sin θ=5. π 2 5 5 又 θ∈ 0,2 ,∴sinθ= 5 ,cosθ= 5 .

(2)∵5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ) = 5cosφ+2 ∴cosφ=sinφ. 1 ∴cos φ=sin φ=1-cos φ,即cos φ=2.2 2 2 2

5sinφ=3

5cosφ,

π 2 又0<φ<2,∴cosφ= 2 .

题型二 三角函数与平面向量的整合例 2:已知 m=(cosx,sinx),n=(cosx,2 5π =m· n+|m|,x∈ 12,π .

3cosx-sinx),f(x)

(1)求 f(x)的最大值； (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B) =-1,a=c=2,求 AB · BC .

解析：(1)

∵m=(cosx,sinx),n=(cosx,2 ∴f(x)=m· n+|m|=cos2x+sinx(2 =cos2x-sin2x+2 π =2sin 2x+6 +1.

3cosx-sinx),

3cosx-sinx)+1

3sinxcosx+1=cos2x+ 3sin2x+1

5π π 13 ∵x∈ 12,π ,∴π<2x+6≤ 6 π. π 1 ∴-1≤sin 2x+6 ≤2,∴f(x)max=f(π)=2.

(2)由(1)知

π π f(B)=2sin 2B+6 +1=-1,∴sin 2B+6 =-1,

π 13 π 3π 2π 而 π<2B+6≤ 6 π,∴2B+6= 2 B= 3 . π 又 a=c=2,∴ AB · BC =accos(π-B)=2×2cos =2. 3

计算 f(x)=m· n+|m|需要用到数量积及模的公式，2 m· n = x1x2 + y1y2 , |m| = x2 | BC |cos(π - BC = | AB |· 1+y1 ;计算 AB ·

B) .这些都是向量的基本公式.本题更多的还是三角变换.求 | BC |cos(π-B),这两个向量的夹角 AB · BC 的值时， AB · BC =| AB |· 是角 B 的外角，而不是角 B.作出图形并标明方向可以避免出错.

【互动探究】

2.设向量 m=(cosx,sinx),x∈(0,π),n=(1, 3). (1)若|m-n|= 5,求 x 的值； (2)设 f(x)=(m+n)· n,求函数 f(x)的值域.解：(1)∵m-n=(cosx-1,sinx- 3), 由|m-n|= 5,得 cos2x-2cosx+1+sin2x-2 3sinx+3=5,

3 整理得 cosx=- 3sinx,显然 cosx≠0,∴tanx=- 3 . 5π ∵x∈(0,π),∴x= 6 .

(2)∵m+n=(cosx+1,sinx+ 3), ∴f(x)=(m+n)· n=(cosx+1,sinx+ 3)· (1, 3) =cosx+1+ 3sinx+3 = 2 π 3 1 +4=2sin x+ +4. 6 2 sinx+2cosx

π π 7π ∵0<x<π,∴6<x+6< 6 . π π 1 ∴-2<sin x+6 ≤1 -1<2sin x+6 ≤2. π ∴3<2sin x+6 +4≤6.

即函数 f(x)的值域为(3,6].

题型三

三角函数与解三角形

例 3 : (2011 年广东珠海二模 ) 如图 2 - 1 ,已知平面四边形 ABCD 中，△ BCD 为正三角形， AB = AD = 2 ,∠ BAD = 2θ ,记 四边形ABCD的面积为S. (1)将 S 表示为θ的函数； (2)求 S 的最大值及单调增区间.

图 2-1

解析：(1)在△ABD 中，由余弦定理得 BD2=8-8cos2θ, ∴BD=4sinθ. 1 π ∴S=S△ABD+S△BCD=2sin2θ+2(8-8cos2θ)sin3. ∴S=2sin2θ-2 3cos2θ+2 π 3=4sin 2θ-3 +2

3.

π ∴S=4sin 2θ-3 +2

π 3,θ∈ 0,2 .

π π π 2π (2)∵θ∈ 0,2 ,∴-3<2θ-3< 3 .

π π ∴当 2θ-3=2. 3.

5π 即 θ=12时，S 取得最大值，最大值为 4+2 π π π 5π 由-3<2θ-3<2得：0<θ<12, ∴S 5π 的单调增区间为 0,12 .

∴S 的最大值为 4+2

5π 3,单调增区间为 0,12 .

利用余弦定理得 BD2=8-8cos2θ, 而等边三角形 3 2 的面积为 S= 4 a (a 为边长),后半部分主要是三角变

换.本题最 困难的是不能将四边形分成两个三角形，快速求出面积；而最容 易出错是根据范围求最值.