天津市大学生数学竞赛辅导资料(多元函数微分)2013版

天津市大学生数学竞赛辅导资料(多元函数微分)

多元函数微分 (历年真题讲解)

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求函数的偏导数多元函数微分 多元函数极值 多元微分的证明

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一、典型题型、典型思路

一、求函数的偏导数判断连续、可偏导、可微的关系. 函数连续 函数偏导数存在

函数可微 函数偏导数连续

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f ( x , y ) 在 (0, 0 ) 处可偏导

f x ( 0 , 0 ) lim f y ( 0 , 0 ) lim

f ( x , 0) f (0, 0) x f (0, y ) f (0, 0) y

存在且 存在

x 0

y 0

f ( x , y ) 在 (0, 0 ) 处连续 f ( x , y ) 在 (0, 0 ) 处可微

( x , y ) ( 0 ,0 )

lim

f ( x , y ) f (0, 0)

lim

z f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y

02

( x ) ( y ) )2

0

(

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1、3 u u (a b c ) (a b c ) 2 2 2 a b c 32

u

u

3

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2、

B

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3、

解 必 要 性 ， 因 为 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 可 微 , 所 以 f x ( 0 , 0 ),f y ( 0 , 0 ) 存 在

f x ( 0 , 0 ) lim lim x x

f ( x , 0) f (0, 0) x

x 0

lim

x ( x , 0) x

x 0

x 0

(0, 0)

(0, 0 ) 0时 ， f x (0, 0 ) 存 在

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f y ( 0 , 0 ) lim

f (0, y ) f (0, 0) y

y 0

lim

y (0, y )

y 0 y y (0 , 0 ) 0时 ， f x (0 , 0 ), f y (0 , 0 ) 存 在 y 0

lim

y

(0, 0)

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充分性

(0, 0 ) 0时 ， f x (0, 0 ) 0, f y (0, 0 ) 0

lim

f ( x , y ) f ( 0 , 0 ) f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y

0

x y ( x , y ) ( x ) ( y )2 2

lim

lim

x y ( x ) ( y )2 2

0

0

( x, y)

lim

x y ( x ) ( y )2 2

0

(0, 0)

(0 , 0 ) 0时 ， f ( x , y ) 在 (0 , 0 ) 处 可 微

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典型题型2:求偏导数，求全微分.

1、

B

(C ) 0

z x

f 1 y f 2 (

1 x

g y)

z y

f 1 x f 2 g x

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x

z x

y

z y

x y f 1 (1 x y g ) f 2 x y f 1 x y f 2 g f 2

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2、( f 1 yf 2 ) (1 y ) g

u x v x

f 1 f 2 y g (1 y )

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3、22dy dz edz 2e2x 3z

(2dx 3dz )2 1 3e2x 3z

2x 3z 2x 3z

1 3e

dx

dy

3

z x

z y

6e

2x 3z 2x 3z

1 3e

2 1 3e2x 3z

2

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4、d z (1 ez y x z y x

1 xez y x

)d x d y

dz dy dx e

z y x

dx xe

( dz dy dx ) 0

d z (1

e

z y x z y x

1 xe

)d x d y

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5、2 x f 2 x y ( f 1 e3 x y2

f 2 )

z x z2

f ( x y,e2

x y

2

) 2 xy2

x y

2

x f 2 x y ( f 1 x f 2 e2 3 x y2

x y

x )2

2 x f 2 x y ( f 1 e

f 2 )

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6、( e ln 2 ) d x 1 2 dy

z x z ydz( 0 ,1 )

e

x y

xe

x y

ln (1 y )1 1 yd y ( e ln 2 ) d x 1 2 dy

xe z x

x y

( x 1) dx z y

( 0 ,1 )

( 0 ,1 )