2017年中考数学二次函数压轴题(含答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题；数形结合．

分析：

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．

解答：

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

- 1 -

- 2 - ， 解得；

故直线BC 的解析式：y =﹣x +3．

已知点M 的横坐标为m ，MN ∥y ，则M （m ，﹣m +3）、N （m ，﹣m 2+2m +3）； ∴故MN =﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）=﹣m 2+3m （0＜m ＜3）．

（3）如图；

∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =MN （OD +DB ）=MN ?OB ，

∴S △BNC =（﹣m 2+3m ）?3=﹣（m ﹣）2+（0＜m ＜3）；

∴当m =时，△BNC 的面积最大，最大值为

．

2．如图，抛物线

的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C

点，已知B 点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．

考点：二次函数综合题．.

专题：压轴题；转化思想．

分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．

（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．

解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直线l：y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：即M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

- 3 -

- 4 -

平行四边形类

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．

（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．

（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．

（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.

专题：压轴题；存在型．

分析：

（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A （3，0）B （0，﹣3）分别代入y =x 2+mx +n 与y =kx +b ，得到关于m 、n 的两个方程组，解方程组即可；

（2）设点P 的坐标是（t ，t ﹣3），则M （t ，t 2﹣2t ﹣3），用P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即PM =（t ﹣3）﹣（t 2﹣2t ﹣3）=﹣t 2+3t ，然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=时，PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用

S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；

（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．

解答：

解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b ，得，解得，

所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），

因为p在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=，

则S△ABM=S△BPM+S△APM

==．

（3）存在，理由如下：

∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．

②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P 点的横坐标是；

③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．

- 5 -

所以P 点的横坐标是或．

4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．

考点：二次函数综合题．.

专题：压轴题．

分析：

（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2）， …… 此处隐藏：7322字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……