【新】全国通用2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物

【新】全国通用2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教师用书文新人教A版

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第七节 抛物线

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点

F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )

(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是? ??

??a 4，0，准线方程是x ＝－a

4

.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ? ??

??p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24

，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )

A.1716

B.1516

C.78 D ．0

B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516

.] 3．抛物线y ＝14

x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1

B ．y ＝－2

C ．x ＝－1

D ．x ＝－2

A [∵y ＝14

x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.] 4．(2017·西安质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )

A ．(－1,0)

B ．(1,0)

C ．(0，－1)

D ．(0,1) B [抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p 2

＝－1，解得p ＝2，所

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制作不易 推荐下载 3 以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]

5．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．

9 [设点M 的横坐标为x 0，则点M 到准线x ＝－1的距离为x 0＋1，由抛物线的定义知x 0＋1＝10，∴x 0＝9，

∴点M 到y 轴的距离为

9.]

0，y 0)是C 上一

点，|AF |＝54

x 0，则x 0＝( ) A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 (2)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴

的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为__________．

(1)A (2)2 [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12

， 因此焦点F ? ??

??14，0，准线l 的方程为x ＝－14. 设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |.

从而x 0＋14＝54

x 0，解得x 0＝1. (2)由y 2＝4x ，知p ＝2，焦点F (1,0)，准线x ＝－1.

根据抛物线的定义，|AF |＝|AC |＋1，|BF |＝|BD |＋1.

因此|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |－2＝|AB |－2.

所以|AC |＋|BD |取到最小值，当且仅当|AB |取得最小值，

又|AB |＝2p ＝4为最小值．

故|AC |＋|BD |的最小值为4－2＝2.]

[规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．

2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p

2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．

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制作不易 推荐下载 4 [变式训练1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________．

5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．

连接AF 交抛物线于点P ，此时最小值为

|AF |＝[1－－2＋－2＝

5.]

( ) 【导学号：31222323】

A ．x 2＝112

y B ．x 2＝112y 或x 2＝－136y C ．x 2＝－136

y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y (2)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x

(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )

A.12

B ．1 C.32 D ．2 (1)D (2)D [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a

y . 当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112

. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则????

??3＋14a ＝6，∴a ＝－136. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .

(2)由抛物线C ：y 2＝4x 知p ＝2.

∴焦点F (1,0)．

又曲线y ＝k

x

(k >0)与曲线C 交于点P ，且PF ⊥x 轴．

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制作不易 推荐下载 5 ∴P (1,2)，

将点P (1,2)代入y ＝k x ，得k ＝2.]

[规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：

(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．

(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．

[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )

A ．y 2＝6x

B ．y 2＝8x

C ．y 2＝16x

D ．y 2＝15x 2 (2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25

＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．

(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2

，|MF |＝4|OF |， 所以|MF |＝2p ，

由抛物线定义知x ＋p 2

＝2p ， 所以x ＝32

p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，

所以12×p 2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)． 所以抛物线的方程为y 2＝8x .