数字信号处理第二章2

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第2章 离散时间信号与系统2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 离散时间信号——序列 离散时间系统 系统的稳定性和因果性 离散时间信号和系统的频域表示 序列傅里叶变换的对称性质 连续时间信号的采样 Z变换 系统函数 系统的网络结构

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示2.4.1 线性非时变系统对复指数序列e j n 的响应j n x ( n ) A e , h(n) 为系统的单位采样响 设输入

应，求得输出

y(n) x(n) h(n)

A h(k )e j ( n k )k

k

h((k k))Ax x (( nn h kk)) k

Ae

j n

k

h(k )e j k

Ae j n H (e j )输出与输入为同频的复指数序列

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示线性时不变系统对复指数序列的响应是一个 与输入序列同频的复指数序列，但输出复指数序 列的幅度和相位与输入序列可能不同。输出幅度 等于输入幅度乘以 H (e j ) 的幅度，输出的相位等 j H (e ) 的相位。 于输入相位加上 j j arg[ H ( e j )]y(n) H (e ) Aej j n

H (e ) e

| H (e

j

) | Ae

j( n arg[ H (e j )])

因此，当一个复指数序列作用到线性非时变 系统时，输出的特征完全由 H (e j ) 的值决定。而 H (e j )则由系统的 h( n) 所决定。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示

2.4.2 频率响应频率响应的物理意义可以解释为：它描述了 系统对不同频率的正弦、余弦和复指数序列的响 应变化情况。在线性时不变系统中，当输入为正 弦、余弦和复指数序列时，输出仍为相同频率的 序列，唯一改变的是输出序列的幅度和相位。 对离散系统，将频率响应定义为：H (e ) j n

h(n)e j n

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示频率响应可以分成幅度和相位两部分，即

H (e ) H (e ) eH (e j )

j

j

jarg[ H (e j )]

称作“幅频响应”,它刻画了系统 对输入幅度的影响，表示了幅度变化的倍数。arg[ H (e j )]称作“相频响应”,它刻画了系统

对输入相位的影响，表示了增加或减小的相 位值，反映了输出序列相对于输入序列的时 延大小。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示对比模拟系统的频率响应，离散系统频率 j H (e ) 有如下特点： 响应 j H (e ) 是 ω的 (1)虽然讨论的是离散系统，但 连续函数； j H (e ) 是ω的周期函数，周期为2π 。 (2) 因此，对频率响应只需考察它的一个周期， 如 [0, 2 ) 或 [ , ) 。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离

散时间信号和系统的频域表示 滤波器广义的用来指一个离散时间系统，是一种 把一个采样信号或一系列的数值(作为输入) 转换成另一系列的数值(输出)的计算过程或 算法，这个计算过程可能是低通滤波、带通滤 波、插值、求导等。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示

理想低通滤波器

理想高通滤波器

理想带通滤波器

理想低阻滤波器

由于H(ejw)是以2π为周期的周期函数，因此π 的偶数倍附近为低频带， π 的奇数倍附近为高频带。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示

2.4.3 序列的傅里叶变换(离散时间傅里叶变换DTFT)若能将输入序列表示成多个复指数序列的叠加， 则可利用频率响应特性和叠加原理得到输出序列。连续时间周期信号的傅立叶级数

单位采样响应、频率响应

s( t )

n

jn 0 t C ( jn 0) e

H (e j ) 等效

1 C ( jn 0 ) s(t ) e jn 0 t dt T T

n n

h(n)e j n

j n h ( n ) e

对应于傅立叶级数系数

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示时域信号对应 的频域表示 j j n X (e ) x ( n )e n x(n) 1 X (e j )e j n d 2

j X (e ) 表示了序列 x( n) 第一式称作分析式，

中不同频率的正弦信号所占比重的相对大小，具 有分析作用； 第二式表示序列 x(n) 是由不同频率的正弦信 号线性叠加构成，具有综合作用，称作综合式。 第一式称作序列傅里叶变换正变换，第二式 称作序列傅里叶变换反变换。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示根据级数理论，序列傅里叶变换存在，也就是 级数求和收敛的充要条件是 j j n X ( e ) x ( n ) e n

x ( n)

n

即序列是绝对可和的。

对系统而言，当它是稳定系统时，系统频率响 应是存在的，条件为n

h ( n)

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示 2.4.4 描述系统输入和输出关系的频域方法设系统输入x(n)的傅里叶变换存在，即1 j j n x ( n) X (e )e d 2 j j n x(n)中的各复指数分量为 X (e )e ,它的响

应为 H (e j ) X (e j )e j n ,根据叠加原理，各分量的响 应的叠加(积分)就是总的响应。 1 即 y(n) 2 X (e j )e j n H (e j )d 1 j j j n X (e ) H (e )e d 2 1 j j n y ( n) Y (e )e d 2

又有

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第2章 离散时间信号与系统2

.4 离散时间信号和系统的频域表示

可得

Y (e j ) X (e j ) H (e j )

上式就是描述线性非时变系统输 入和输出关系的频域表达式，它是卷 积关系式在频域的反映，对卷积表达 式两边作序列傅里叶变换，容易得到 相同的关系式。

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第2章 离散时间信号与系统2.4 离散时间信号和系统的频域表示系统时域和频域描述的关系可以表示为h(n) x(n) H (e j ) X (e j )y(n) Y(ejw)

”表示其左、右两边的式子是一个 符号“ 互逆的过程。该式也称作“时域卷积定理”。

相应地，还有“频域卷积定理”,关系式为或x(n)h(n) X (e j ) * H (e j ) 1 j j( ) x ( n) h( n) X (e ) H (e )d 2

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第2章 离散时间信号与系统2.5 傅立叶变换的对称性质共轭对称序列xe(n)定义为 xe(n) = xe*(-n) 若xe(n)为实序列，则xe(n)是偶序列。 共轭反对称序列xo(n) 定义为 xo(n) = -xo*(-n) 若xo(n)为实序列，则xo(n)是奇序列。

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第2章 离散时间信号与系统2.5 傅立叶变换的对称性质

任何一个序列都可以分解成共轭对称序列 xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和，即 x(n) = xe(n) + xo(n)其中： xe(n)=[ x(n) + x*(-n) ]/2 xo(n)=[ x(n) - x*(-n) ]/2 对上式两边同时求傅立叶变换，可得频域 中的类似结论。