九年级数学点击中考不等式与不等式组

九年级数学点击中考不等式与不等式组

一元一次不等式（组）是初中数学的重要内容，历年中考试题中一元一次不等式（组）的内容是必考热点问题。这类问题考查基础知识、基本性质到灵活运用知识解决实际问题等多种形式。以下点击几种热点问题供大家复习时参考。

点击一：一元一次不等式（组）的解法。

例1. 不等式2x 3 x的解集是（ ）

A. x<2 B. x>2 C. x>1 D. x<1

解：移项，合并同类项，得：3x 3

系数化为1，得：x 1

x 1 1 x，并把解集表示在数轴上。 2

解：去分母得：x 1 2 2x

移项，合并同类项得： x 1

系数化为1，得：x 1

解集在数轴上表示为：

例2. 解不等式：

评注：熟练掌握不等式的基本性质是正确的解一元一次不等式的基础。解不等式的一般步骤与解方程的步骤相同。但要特别注意“不等式两边同乘以（或除以）一个负数时，必须改变不等号的方向”，这是一个难点和易错点。

x 3 3 x 例3. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来。 2 1 3(x 1) 8 x

解：解不等式（1）得：x 3

解不等式（2）得：x 2

∴原不等式的解集为： 2 x 3

在数轴上表示如下：

(1)(2)

x a 2 例4. 若不等式组 的解集是 1 x 1，则(a b)2006 ___________。 b 2x 0

x 2 a 解：解原不等式组得： 因为不等式组的解集为： 1 x 1 bx 2

a 2 1 a 3 b ， b 2 1 2

(a b)2006 ( 3 2)2006 1

评注：一元一次不等式组的解集的求法是：

（1）先分别求出此不等式的解集；

（2）再利用数轴求出多个解集的公共部分就是这个不等式组的解集，若各不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解。

点击二：一元一次不等式（组）的整数解。

x 1 1① 例5. 解不等式组 2，并写出不等式组的正整数解。

x 2 4(x 1)②

解：解不等式①得：x 3

解不等式②得：x 2

不等式组的解集是 2 x 3

不等式组的正整数解是1,2,3

例6. 不等式5 2x 8 x的负整数解是_________________。

解：移项，合并同类项得： x 3

系数化为1，得，x 3

∴原不等式的负整数解是 3， 2， 1

评注：求一元一次不等式（组）的整数解的一般步骤是：先求出一元一次不等式（组）的解集，再确定适合解集范围的整数解、正整数解、非负整数解（自然数解）等特殊解，有时借助于数轴会更直观。

点击三：一元一次不等式（组）的实际应用题。

例7. 市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株。甲种树苗50元/株，乙种树苗80元/株，有关统计说明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。

（1）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？

（2）若希望树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？

解：（1）设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(500 x)株。

由题意得：50x 80(500 x) 34000

解这个不等式，得：x 200

（2）设见（1），由题意得

90%x 95%(500 x) 92% 500

解这个不等式，得：x 300

又设购买两种树苗的费用之和为y元，则

y 50x 80(500 x)

即：y 30x 40000

由一次函数的增减性知：当x 300时，所用的购树费用最少，费用是31000元。

例8. “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游；现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元，若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。

解：单租42座客车：385 42 9.2

故应租10辆。共需租金320 10 3200（元）

单租60座客车：385 60 6.4

故应租7辆，共需租金460 7 3220（元）

设租用42座客车x辆，则60座的客车租(8 x)辆

42x 60(8 x) 385 由题意得 320x 460(8 x) 3200

35 x 5 718

∵x只能取整数，故x=4，5

当x=4时，租金为：320 4 460 4 3120（元）

当x 5时，租金为：320 5 460 3 2980（元）

答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，所用租金最少。

评注：一元一次不等式（组）在实际生活中有着广泛的应用，解此类实际问题时，需从题目中捕捉不等关系的词语（如：不足、至少、不少（多）于、不超过、不低于等等关键的词语）用不等式（组）将它们表示出来，通过解不等式（组）找出符合题意的解。 请大家来练一练： 解之得：3

5x 3 3(x 1) 1. 解不等式组： 1 3x 8 x 2 2

3(x 1) 2 5x 3 2. 求不等式组 x 1的自然数解。 x 3x 4 2

3. 王女士看中的商品甲乙两商场均有售且标价相同，但两商场采用的促销方式不同， 甲商场：一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；

乙商场：一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠；

那么她在甲商场购物超过多少元就可比乙商场购物优惠？

4. 将一箱苹果分给若干小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。

答案如下：

1. 解集为：0 x 4

7，故自然数解为：0，1，2 3

3. 解：设购买价格为x元的商品，甲商场优惠

由题意，得100 (x 100) 0.8 50 (x 50) 0.9 2. 解集为： 2 x

解之得：x 150

答：王女士在甲商场购买至少150元的商品就可比乙商场购物优惠。

4. 解：设共有x个小朋友，则苹果共有(5x 12)个，依题意得：0 8x (5x 12) 8

20 3

∵x只能为正整数，∴x只能取5，6

当x=5时，苹果有5x 12 5 5 12 37（个）

当x=6时，苹果有5x 12 5 6 12 42（个）

答：当有5个小朋友时，苹果有37个；当有6个小朋友时，苹果有42个。

解这个不等式组，得：4 x