数学百大经典例题——直线与平面的平行判定和性质(新课标)

例1 简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线a 平面 ，直线b a A，则b和 的位置关系如何？ （2）直线a ，直线b//a，则直线b和 的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：b 或b A； （2）由图（2）可知：b// 或b ．

说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．

典型例题二

例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，求证： Q是PA的中点，PC//平面BDQ．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．

证明：如图所示，连结AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO CO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是 APC的中位线，

∴PC//OQ． ∵PC在平面BDQ外， ∴PC//平面BDQ．

说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？

由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：

过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

例3 经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论．

分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；

（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作a//a ，b //b．由于a，b异面，则a ，b 不重合且相交于P．由于a b P，a ， b 确定的平面 ，则由线面平行判定定理知：a// ，b// ．可作一个平面都与a，b平行．故应作“0个或1个”平面．

说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．

已知：直线a//b，a//平面 ，b ． 求证：b// ．

证明：如图所示，过a及平面 内一点A作平面 ． 设 c，

∵a// ， ∴a//c． 又∵a//b， ∴b//c．

∵b ，c ， ∴b// ．

说明：根据判定定理，只要在 内找一条直线c//b，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面 与 相交，我们常把平面 称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．

和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

典型例题五

例5 已知四面体S ABC的所有棱长均为a．求：

（1）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长； （2）异面直线EF和SA所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．

解：（1）如图，分别取SC、AB的中点E、F，连结SF、CF．

由已知，得 SAB≌ CAB． ∴SF CF，E是SC的中点， ∴EF SC．

同理可证EF AB

∴EF是SC、AB的公垂线段．

在Rt SEF中，SF

1

a，SE a． 22

∴EF

SF2 SE2

32122

a a a． 442

（2）取AC的中点G，连结EG，则EG//SA．

∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角． 连结FG，在Rt EFG中，EG 由余弦定理，得

211

a． a，GF a，EF 222

122212

a a a

EG EF GF 2． cos GEF 2 EG EF212

2 a a22

2

2

2

∴ GEF 45．

故异面直线EF和SA所成的角为45．

说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出

来，然后再求值．

典型例题六

例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．

已知：直线a// ，B ，B b，b//a．

求证：b ．

分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 外，不存在过B与a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．

证明：如图所示，设b ，过直线a和点B作平面 ，且 b． ∵a// ，∴b// ．

这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a，与平行公理矛盾． ∴b必在 内．

说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．

如上图，过直线a及点B作平面 ，设 b．∵a// ，∴b// ． 这样，b与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴b与b重合．∵b ，∴b ．

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典型例题七

例7 下列命题正确的个数是（ ）．

(1)若直线l上有无数个点不在平面 内，则l// ； (2)若直线l平行于平面 内的无数条直线，则l// ；

(3)若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任一直线平行； (4)若直线l在平面 外，则l// ．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．

解：(1)直线l上有无数个点不在平面 内，并没有说明是所在点都不在平面 内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l虽与 内无数条直线平行，但l有可能在平面 内，所以直线l不一定平行 ．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当l// 时，若m 且m//l，则在平面 内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线．(4)直线l在平面

外，应包括两种情况：l// 和l与 相交，所以l与 不一定平行． 故选A．

说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l、m都平行于 ，则l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线l//m、l// ，则m与 的位置关系可能是平行，可能是m在 内．

典型例题八

例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线a//b，a 平面 P．求证：直线b与平面 相交．

分析：利用a//b转化为平面问题来解决，由a//b可确定一辅助平面 ，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．

解：∵a//b，

∴a和b可确定平面 ． ∵a P，

∴平面 和平面 相交于过点P的直线l．

∵在平面 内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，

∴l必定与直线b也相交，不妨设b l Q，又因为b不在平面 内（若b在平面 内，则 和 都过相交直线b和l，因此 与 重合，a在 内，和已知矛盾）．

所以直线b和平面 相交．

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