1999考研数一真题及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。) (1) lim

x 0(2)

1 1 2

xtanx x

dx2

sin(x t)dt 0dx

(3) y" 4y e2x 的通解为y (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件：

19

ABC ,P(A) P(B) P(C) ,P(A B C) ,

216

则P(A)

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)

(1)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 ( )

(A) 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。 (B) 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。 (C) 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。 (D) 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。

x 0(2)

设f(x) 其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处 ( ) x2g(x),x 0

(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导

1

x, 0 x a0 2

,S(x) ancosn x, x ,其中(3) 设f(x)

12n 1

2 2x, x 1 21 5

an 2 f(x)cosn xdx,(n 0,1,2, ),则S 等于 ( )

2

1133(A) (B) (C) (D)

2244

(4)设A 是m n矩阵， B 是n m矩阵，则

(A)当m n时，必有行列式AB 0 (B)当m n时，必有行列式AB 0 (C)当n m时，必有行列式AB 0 (D)当n m时，必有行列式AB 0

(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则

11. (B) P X+Y 1 . 2211

(C) P X-Y 0 . (D) P X-Y 1 .

22

(A) P X Y 0

三、(本题满分5分)

设y y(x)，z z(x)是由方程z xf(x y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

四、(本题满分5分)

求I

dz。 dx

e

L

x

siny b(x y) dx excosy ax dy,其中a,b 为正常数， L 为从点A 2a,0

沿曲线O(0,0)的弧.

五、 (本题满分6分)

设函数y x x 0 二阶可导，且y x 0，y 0 1.过曲线y y x 上任意一点

P x, y 作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区

间 0, x 上以y y x 为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1 S2恒为1，求此曲线

y y x 的方程.

六、(本题满分6分)

试证：当x 0时，x 1lnx x 1 .

2

2

七、(本题满分6分)

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N, 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：①1N 1m 1J;其中m,N,s,J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)

八、(本题满分7分)

x2y2

z2 1的上半部分，点P(x,y,z)∈S,π为S 在点P 处的切平面，设S 为椭球面22

z

(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，求 .

(x,y,z)S

九、(本题满分7分

)

设an (1) 求

40

tannxdx,

n

n a

n 1

1

an 2 的值；

an

收敛

n 1n

(2) 试证：对任意的常数λ>0, 级数

十、(本题满分8分)

1c a

,其行列式*

b3设矩阵A 5又A 的伴随矩阵A有一个特征值 0，属A 1,

1 c0 a

于 0的一个特征向量为 ( 1, 1,1)T,求a,b,c和 0的值.

十一、(本题满分6分)

设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B为B的转置矩阵，试证：BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r B n.

十二、(本题满分8分)

设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X,Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.

T

T

十三、(本题满分6分) 设总体X 的概率密度为

6x

( x),0 x

f(x) 3

0, 其他

X1,X2, ,Xn是取自总体X 的简单随机样本.

(1) 求θ的矩估计量 (2) 求 的方差D

.

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】.

【分析】利用x 0的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1：lim

13

1 tanx x 1 limtanx x 02

x 0x2xtanx xtanx

xlim

tanx x

3x 0xx21

xlim2 x 03x3

sec2x 1tan2x

tanx lim 洛lim22x 0x 03x3x

方法2：lim

1 sinx xcosx 1 1cosx

lim lim x 0 2 x 02x 0x2xtanx xsinx xsinx x

xlim

sinx xcosxcosx cosx xsinxsinx1

洛lim lim 32x 0x 0x 0x3x3x3

sinx

(2)【答案】sinx

2

db

(x,t)dt，唯一的办法是作变换，使含有 (x,t)中的x“转移”到 之外 【分析】欲求

dx a

【详解】令u x t，则dt du，所以有

dxd0dx22

sin(x t)dt sinu du sinu2du sinx2 dx0dxxdx0

(3)【答案】y C1e

2x

1

C2 x e2x,其中C1,C2为任意常数.

4

2

【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.

【详解】原方程对应齐次方程y" 4y 0的特征方程为： 4 0,解得 1 2, 2 2，故

y" 4y 0的通解为y1 C1e 2x C2e2x,

由于非齐次项为f(x) e,因此原方程的特解可设为y Axe,代入原方程可求得

2x

*

2x

A

11 2x * 2x

，故所求通解为y y1 y C1e C2 x e 44

(4)【详解】因为

1 1

1 1

E A

......

1 1

两边取行列式，

... 1

... 1

(对应元素相减) ......

... 1

... 1 n 1... 1把第2， ，n列 n 1......加到第1列......... 1 n 1

... 1

... 1......... 1

2行 1行3行 1行 n行 1行

( n)

100

1

1

E A

... 1 1 1... 1... 1... 1

......... 1 1... 1

1 1

提取第1列1 1

( n)

......的公因子

1 1 n-1( n)

令

......

............

E A n-1( n) 0，得 1 n(1重)， 2 0((n 1)重)，故矩阵A的n个特征值

是n和0((n-1)重)

(5)【答案】4 【详解】根据加法公式有

P(ABC) P(A) P(B) P(C) …… 此处隐藏：9261字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……