高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---空间中的夹角和距离

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20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）---空间

中的夹角和距离

一．【课标要求】

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；

3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

二．【命题走向】

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

预测20XX年高考试题：

（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；

（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提

三．【要点精讲】

1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度

（2）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所

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2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π

，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角

（2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝S

S '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角

3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

四．【典例解析】

题型1：直线间的距离问题 例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC 的距离。 解法1：如图1连结A'C'，则AC ∥面A'C'D'，

连结DA'、DC'、DO'，过O 作OE ⊥DO'于E

因为A'C'⊥面BB'D'D ，所以A'C'⊥OE 。 又O'D ⊥OE ，所以OE ⊥面A'C'D 。

因此OE 为直线DA'与AC 的距离

在Rt △OO'D 中，，可求得

点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。 解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C 、AB'A'，得到分别包 B C

C' A' D' 图

1 C B

B'

D' A' 图2

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含DA'和AC 的两个平面A'C'D 和平面AB'C ，

又因为A'C'∥AC ，A'D ∥B'C ，所以面A'C'D ∥面AB'C 。

故DA'与AC 的距离就是平面A'C'D 和平面AB'C 的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离

不难算出，所以，所以异面直线BD 与之间的距离为。

点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，

则异面直线的距离就是两平面的距离

则异面直线l 与AB 所成的角满足。以此为据求解

由题意，知平面ABC ，，由三垂线定理，知，所以平面SAC 。

因为，由勾股定理，得 。

在中，，在中，。

设SC 与AB 所成角为，则，

AB

弦定理），求出所构造角的度数

题型3：点线距离

例3．（2009天津卷理）（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，

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AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

12

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；

(II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；

（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解

决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.

方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED （或其补

角）为异面直线BF 与DE 所成的角。设P 为AD 的中点，连

结EP ，PC 。因为FE //=AP ，所以FA //=

EP ，同理AB //=PC 。又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD 。而PC ，AD 都在平

面ABCD 内,故EP ⊥PC ，EP ⊥AD 。 …… 此处隐藏：10334字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……