高等数学(侯风波)第12章课件PPT

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第十二章

级

数

第一节 数项级数及其敛散性 第二节 幂 级 数 *第三节 傅里叶级数 第三节

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第一节

一、 二、 三、 四、

数项级数及其敛散性

数项级数及其性质 正项级数及其敛散性 交错级数及其敛散性 绝对收敛与条件收敛

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一、数项级数及其性质

1. 数 级 的 念 项 数 概 定 1 设 定 个 列 u ,u2,…,un ， ， 义 给 一 数 … 则 1

子 式 + u ∑u ＝ +u +u +… u +…

n= 1 n 1 2 3

n

∞

为 数 无 级 ， 称 项 数 其 第 称 常 项 穷 数 简 数 级 ， 中 n项 un 称 一 项 通 ． 为 般 或 项

例① 算 级 术 数 a +(a2 +d) +(a +2d) +… （ 1 +(n 1 d) + … ) ＋ a 1 1

②等 级 （ 何 数 比 数 几 级 ） 2 a +aq+aq + +a qn 1 +… ， … 1 1 1 1

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1 1 1 1 ③ p-级 - 数 ∑ p =1+ p + p +… p +… . 2 3 n n= n 1

定义２ 定义２

∞

u 设级数∑ n 的前 n 项之和为

n= 1

∞

Sn =u +u2 + +un = ∑ k 称 Sn 为 数 un 的 u 级 ∑ 1

前 n项 分 .当 依 取,2,3 时 得 一 新 部 和 n 次 1 , ， 到 个 的 列 数

k= 1

n= 1

n

∞

, + S1 =u ,S2 =u +u2 , Sn =u +u2 + un, 1 1 1

列 数 {Sn}称 级 ∑ n 的 分 数 . 为 数 u 部 和 列

n= 1 ∞

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此 列 极 存 ， lim 若 数 的 限 在 即 Sn = S (常 )， 称 数 则

n→ ∞

S为 数 un 的 ， 作 un = S 此 称 数 un 收 级 ∑ 和 记 ∑ 时 级

n= 1

∞

∞

∑

n= 1

∞

n= 1

. 果 列 敛 如 数 {Sn}没 极 ， 称 数 un 发 ， 时 有 限 则 级 ∑ 散 这

n= 1

∞

数 有 . 级 没 和 当 数 敛 ， 部 和 Sn 是 数 S 的 似 ， 级 收 时 其 分 级 近 值 S n 称 Sn为 数 余 ， 作 r ， 级 的 项 记 即

r = S Sn =un+1 +un+2 + . n

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例1 考 级 ∑ 察 数 ln

n= 1

∞

n+1 的 散 . 敛 性 n

解 注 到 意

n+1 un =ln = ln(n+1 lnn ) n

Sn =u +u2 + un = (ln2 ln1 +(ln3 ln2) + + ) 1 ， +(ln n+1 lnn) = ln n+1 ( ) ( )

以 所

limSn = limln n+1 = +∞， ( )

n→ ∞ ∞ n→ ∞

n+1 由 义 数 ln 定 级 ∑ 是 散 . 发 的 n n= 1

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例 2 考 级 1+2+4+8+ +2n 1 + 的 散 . 察 数 敛 性

2n 1 为2 几 级 ， 解 这 公 为2 的 何 数 Sn = 是 比 . 2 1

( ) 以 所 limSn = lim 2n 1 = +∞ 级 是 散 . ， 数 发 的

∞ n→ ∞ n→

∞

例 3 考 级 ∑ )n 1的 散 . 察 数 ( 1 敛 性

n= 1

解 这 公 为 1的 何 数 即 是 比 几 级 ， 1 1+1 1+1 是1,0,1,0, ， 然 S 存 它 部 和 列 1,0,1,0,… 显 lim n不 的 分 数 是1,0,1,0,…

n→ ∞

, 以 数 发 的 在所 级 是 散 .

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例4 把 环 数 .36化 分 . 循 小 0 为 数

解

0 为 穷 数 把 .36化 无 级

100 100 100 100

0.36= 36 + 362 + 363 + 36n + ，

1 这 公 为 的 何 数由 比 列 和 式 是 比 几 级 , 等 数 求 公 100

36 1 ( n) 1 100 Sn =100 1 1 100 36 1 36 所 以 ( n) 1 36 4 ， 　 Sn = lim100 100 = 100 = = lim n→ ∞ n→ ∞ 1 1 99 11 1 1 100 100

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