27.5 圆与圆的位置关系

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27.5 圆与圆的位置关系

操作

在纸上画一个半径为2.5厘米的圆，在过圆心画一条直线。把一枚硬币房子啊所画圆的外部，使硬币的重心大致在所画的直线上。然后，将硬币沿着直线从圆的外部到内部、再向外部缓慢移动。把硬币的边缘看作一个圆，在硬币移动的过程中，观察两个圆的公共点的个数。

通过操作可以看到，两个圆的公共点的个数有三种情况：没有公共点、有唯一的公共点，有两个公共点。

当硬币的边缘与所画的圆没有公共点时，这枚硬币可能在圆外，也可能在圆内。 当硬币的边缘与所画的圆有唯一的公共点时，除这公共点外，这枚硬币可能在圆外，也可能在圆内。

归纳两圆的位置关系的特征，如图27-33所示。

图27-33⑴中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆的外离。

图27-33⑵中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆的外切。这个唯一的公共点叫做切点。

图27-33⑶中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。

图27-33⑷中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。

图27-33⑸中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含，当两个圆的圆心重合时，称它们为同心圆。

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一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含。两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或内切时，也可以叫做两个圆相切。

两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距。经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 问题

两圆的位置关系与由这两圆的半径长和圆心距构成的数量关系之间有着怎样的联系？

如果两圆的半径长分别为R1和R2，圆心距为d，那么两圆的位置关系可用R1、R2和d之间的数量关系表达，具体表现如下：

两圆外离 d R1 R2；

两圆外切 d R1 R2；

两圆相交 R1 R2 d R1 R2；

两圆内切 0 d R1 R2；

两圆内含 0 d R1 R2。

两圆的半径长、圆心距之间的数量关系，是两圆位置关系的代数表达式。这些数量关系式可借助于图形的直观性来推导。如对于两圆相交的情况，由图27-34，利用“三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边”，就能得到R1、R2、d之间的数量关系。

例题1 已知⊙O1和⊙O2的半径长为3和4，根据下列条件判断⊙O1和⊙O2的位置关系。

⑴O1O2=7；⑵O1O2=4；⑶O1O2=0.5。

解 分别用R1、R2、d表示⊙O1、⊙O2的半径长及圆心距。

⑴由R1=3，R2=4，得R1+R2=7.

∵d=7，

∴d=R1+R2。

∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切。

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⑵由R1=3，R2=4，得R1 R2 1,R1 R2 7.

∵d=4， ∴R1 R2 d R1 R2

∴⊙O1和⊙O2的位置关系是相交。

⑶由R1=3，R2=4，得R1 R2 1。

∵d=0.5， ∴d R1 R2

∴⊙O1和⊙O2的位置关系是内含。

例题2 如图27-35，已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这三个圆的半径长。

解 设⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为x厘米、y厘米、z厘米。

∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切

∴AB=x y，BC y z，CA z x

根据题意，得关于x、y、z的方程组

x y 3 y z 5

z x 6

x 2 解得 y 1，

z 4

所以，⊙A、⊙B、⊙C的半径长为2厘米、1厘米、4厘米。

练习 27.5⑴

1. 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

⑴已知⊙O1、⊙O2的半径长分别为R1、R2，圆心距为d，如果R1=1，R2=2，d=0.5，那么⊙O1与⊙O2相交。（ ）

⑵已知⊙O1、⊙O2的半径长分别为R1、R2，如果R1=5，R2=3，那么⊙O1与⊙O2相切，那么圆心距d=8。（ ）

⑶如果两圆相离，那么圆心距一定大于O。（ ）

2. 已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为1和3，根据下列条件判断⊙O1和⊙O2的位置

关系：

⑴O1O2=5；⑵O1O2=4；⑶O1O2=3；⑷O1O2=2；⑸O1O2=1.

3. 已知两圆内切，圆心距为2厘米，其中一个圆的半径长为3厘米，

求另一个圆的

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半径长。

4. 已知两圆的直径长分别为6厘米和8厘米，圆心距为14厘米，试说明这两个圆

的位置关系。

例题3 已知⊙A和⊙B相切，圆心距d为10厘米，其中⊙A的半径长是4厘米，求⊙B的半径长。

解 设⊙B的半径长为r。

⑴ 如果⊙A和⊙B外切，那么d 10 4 r.

得 r 6

⑵ 如果⊙A和⊙B内切，那么d r 4 10。

得 r 14 或 r 6（舍去）

所以，⊙B的半径长为6厘米或14厘米。

例题4 分别以1厘米、1.5厘米、2厘米为半径作圆，使它们两两外切。

分析 假设符合条件的三个圆已作出，圆心分别为O1、O2、O3，设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径长分别为1厘米、1.5厘米和2厘米，由于这三个圆两两外切，可知

O1O2=1+1.5=2.5厘米；

O2O3=1.5+2=3.5厘米；

O1O3=1+2=3厘米。

由于△O1O2O3的三边确定，△O1O2O3就可以作出。

因此可利用△O1O2O3来定圆心，然后作圆。

作法

1. 作△O1O2O3，使得O1O2=2.5厘米，O2O3=3.5厘米，O1O2=3厘米。

2. 分别以O1、O2、O3为圆心，相应地分别1厘米、1.5厘米、2厘米为半径长，作

⊙O1、⊙O2、⊙O3。

⊙O1、⊙O2、⊙O3就是所求作的圆。

例题5 如图27-37，MN表示一段笔直的高架道路，线段PQ

表示高架路侧的一排居

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民楼。已知点P到MN的距离为18米，QP的延长线与MN的夹角为30°。假设汽车在高架道路上行驶时，周围30米以内会受到噪音的影响。

⑴过点P作MN的垂线，垂足为点H。如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，那么汽车与点H相距多远时其噪音开始影响居民楼？

⑵降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到0.1米）

分析 汽车在Mn上行驶，噪音是否对居民有影响，取决于线段PQ与以汽车为圆心、30米为半径长的圆的位置关系。如果PQ与这个圆有公共点，那么居民楼会受噪音影响；否则不受影响。

如图27-37所示，汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，设汽车到点A的位置时噪音开始影响居民楼，则点A与点P相距30米，设汽车到到达B处时与PQ的距离为30米，那么汽车从A行驶到B时，居民楼收到噪音影响；继续往前行驶，居民楼不受影响。因此安装隔音板的长度应不小于线段AB的长。

解 如图27-38，

⑴∵PH⊥MN，垂足为点H，

∴PH表示点P到MN的距离，得PH=18（米）

以点P为圆心、30米为半径长画弧，设位于PH左侧的交点为A，则汽车沿着从M到N的方向行驶到点A时，噪音开始影响居民楼。

联结PA，得∠PHA=90°，PA=30(米)。

在Rt△PAH中，由勾股定理，得AH=24（米）

答：当汽车与点H相距24米时，其噪音开始影响居民楼。

⑵设MN上一点B与直线PQ的距离为30米，则汽车再往前行驶时，PQ与以汽车为圆心、30米为半径长的圆相离，噪音不影响居民楼。

过点B作BC⊥PQ，垂足为点C，得∠BCP=90°，BC=30米。

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