大学物理第二版(下)习题答案_罗益民主编_北京邮电大学出版社

习 题 解 答

第8章 机械振动

8-1 解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示）

设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时 Mg s ga 往下沉一点时，

合力 F Mg s g(a y) s gy. 又 F Ma M

dy

dt2

2

习题8-1图

dy2

故M2 s gy 0

dtdy2s g

y 0 2

Mdt

故作简谐振动

2 s g

2

M2 104 103

2 2 6.35(s) T s g2 103 103 9.8

8-2 解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时：

l0

mgsin

0.1(m) (1) k

(1) A物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T=kx

列出A在任一位置x处的牛顿方程式

d2x

mgsin T mgsin k(l0 x) m2

dt

将（1）式代入上式，整理后得

d2xk

x 0 dt2m

故物体A的运动是简谐振动，且

k

m

7(rad/s) 由初始条件

x0 l0,求得 A l0 0.1m

v 0

,故物体A的运动方程为

x=0.1cos(7t+π)m

(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为:

d2mgsin Tx

1 mdt

2 (2)

对

滑

轮

列

出

转

动

方

程为：

2

习题8-2图

Tr T 12 a1

dx12r J 2Mr r 2

Mrdt2 (3)

式中,T2=k(l0+x) （4）

由式（3）、(4)知T1d2x

1 k(l0 x) 2Mdt

2

代入(2)式知 1 2

mgsin k(lx) dx

0 2M m dt

2

又由（1）式知mgsin kl0

故(12M m)d2x

dt2 kx 0

即d2xk

dt

2

(Mx 0 2

m)

2

kM

2

m可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为：

kM 5.7(rad/s)

2

m由于初始条件：x0 l0,v0 0

可知，A、 不变，故物体A的运动方程为:

x

0.1cos(5.7t )m

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.

8-3 解：简谐振动的振动表达式：x Acos( t )

由题图可知，A 4 10m,当t=0时，将x 2 10m代入简谐振动表达式，得：

2

2

cos

1 2

由 Asin( t ),当t=0时， Asin 由图可知， >0,即sin 0,故由cos

2

1

,取

32

习题8-3图

又因:t=1s 时，x 2 10m,将其入代简谐振动表达式，得

2 4cos ,

3

由t=1s时, Asin

1

cos

3 2

<0知，sin 0,取 ，

333 3

2 s 3

即 质点作简谐振动的振动表达式为

2

x 4 10 2cos t m

3 3

8-4 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r，由高斯

定理可知E

QrQq

,则微粒在此处受电场力为:F r

4 0R34 0R3

式中，负号表明电场F的方向与r的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：

F m

Qq

r 03

4 0R

2

2

drQqdrQq

r 0 r 02323dt4 0Rdt4 0mR

2

令

Qq

3

4 0Rm

d2r

2r 0 则 2dt

故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由T

2

4 0mR3

知: T 2

Qq

8-5 解：（1）取弹簧原长所在位置为O 点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有：

Mg kOP

将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题8-5所示，则有：kOO (M m)g

设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量OO x,则A、B系统所受合力为：

F (M m)g k(OO x) kx

d2x

即 (M m)2 kx 0

dt

可见A与B作简谐和振动. (2) 由上式知，

k

10(rad/s)

M m

习题8.5图

以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题8-5可知

OP OO OP

则t=0时，x0 OP

M mMgmg

g kkk

mg

0.02m(负号表P点在O点上方) k

2

01 2gh 2m/s 又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为: 01

碰撞后，A、B的共同速度为： 0

m 01

0.4m/s （方向向上）

M m

则t=0时，

x0 0.02m

0 0.4m/s

20

2 0

可求得：A x 2 0.0447(m)

0 arctan x 0.65 0

10t 0.65 )m 可知A与B振动系统的振动表达式为：x

0.0447cos(

(3) 弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为：

x OO A

则最大拉力 Fmax k x 72.4N 8-6 解：(1) 已知A=0.24m,

M m

g A 0.1447m k

2

,如选x轴向下为正方向. T2

1

, 23

,cos 已知初始条件x0 0.12m, 0 0即 0.12 0.24cos

而 0 A sin 0,sin 0,取

3

,故：

x 0.24cos t m

3 2

(2) 如图题所示坐标中，在平衡位置上方0.12m, 即x=-0.12m处，有

1

cos t

3 2 2

2 t 233

因为所求时间为最短时间，故物体从初始位置向上运动，

0.故sin(t ) 0

23

2 则取t

233

2

可得：tmin s

3

习题8-6图

(3) 物体在平衡位置上方0.12m处所受合外力F m x 0.3N,指向平衡位置.

8-7 解：子弹射入木块为完全非弹性碰撞，设u为子弹射入木块后二者共同速度，由动量定理可知：

u

m

2.0(m/s)

M m

不计摩擦，弹簧压缩过程中系统机械能守恒，即：

112(M m)u2 kx0 （x0为弹簧最大形变量） 22

x0

M m

u 5.0 10 2m k

2

由此简谐振动的振幅 A x0 5.0 10 系统圆频率

k

40(rad/s)

M m

若取物体静止时的位置O（平衡位置）为坐标原点，Ox轴水平向右为正，则初始条件为： t=0时，x=0, 0 u 2.0m/s 0

由x0 Acos , 0 A sin ,得：

2

则木块与子弹二者作简谐振动，其振动表达式为：

x 5.0 10 2cos(40t )m

2

8-8 解：当物体m1向右移动x时，左方弹簧伸长x，右方弹簧缩短x，但它们物体的作用方