【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4-第一章三角函

【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4-第一章三角函数双基限时练8]

双基限时练(八)

1．下列函数以π为周期的是( ) 1

A．y＝2 C．y＝1＋cos2x 答案 C

π 2x2．设函数f(x)＝sin2 ，x∈R，则f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为2的奇函数 π

D．最小正周期为2的偶函数 π π 2x－2x解析 f(x)＝sin2 ＝－sin 2 ＝－cos2x.

2π

∴最小正周期为T＝2π，且为偶函数． 答案 B

3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )

B．y＝sinx D．y＝cos3x

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解析 显然D中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A、C中每经过一个单位长度，图象重复出现．B中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A、B、C中函数是周期函数，D中函数不是周期函数．

答案 D

x＋φ

4．若函数f(x)＝3φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) πA.2 3πC.2

2πB.35πD.3x＋φ

解析 ∵f(x)＝sin3是偶函数，∴f(0)＝±1. φ∴sin3±1. φπ

∴3＝kπ＋2k∈Z)． 3π

∴φ＝3kπ＋2k∈Z)．

3π

又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝2.故选C. 答案 C

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π k 5．函数y＝cos4＋3(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )

A．10 C．12

B．11 D．13

2π8π

解析 ∵T＝k＝k2，∴k≥4π，

4又k∈Z，∴正整数k的最小值为13. 答案 D

3π

6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为2的函数，若f(x)＝

cosx，－πx≤0，

2

sinx，0<x≤π，

A．1 C．0

15π

则f －4的值等于( )

2

B.22

D．－23 3 15π 332

解析 f －4＝f 2π× －3 ＋4π ＝f4π ＝sin4＝2 答案 B

1

7．函数y＝2sin2x的最小正周期T＝________. 2π

解析 T＝2π. 答案 π

π

8．y＝3sin ax＋6的最小正周期为π，则a＝______.

2π

解析 由最小正周期的定义知|a|π，∴|a|＝2，a＝±2.

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答案 ±2

nπ9．已知f(n)＝sin4(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________. nπ22

解析 ∵f(n)＝sin4(n∈Z)，∴f(1)＝2，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)22

＝0，f(5)2，f(6)＝－1，f(7)＝－2，f(8)＝0，…，不难发现，f(n)nπ

＝sin4(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100) ＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) 22

＝21＋2＋02＋1. 答案

2＋1

cosx 1－sinx

10．函数y＝________．

1－sinx

cosx 1－sinx

解析 由题意，当sinx≠1时，y＝＝cosx，所以函数

1－sinxπ

，由于定义域不关于原点对称，所以x|x≠2kπ，k∈Z的定义域为2 该函数是非奇非偶函数．

答案 非奇非偶函数

1

11．函数f(x)满足f(x＋2).

f x

求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期． 解 因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)

1

＝－＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．

f x＋2

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12．判断函数f(x)＝ln(sinx1＋sinx)的奇偶性． 解 ∵1＋sinx>|sinx|≥－sinx， ∴sinx＋1＋sinx>0. ∴定义域为R.

又f(－x)＝ln[sin －x ＋1＋sin －x ] ＝1＋sinx－sinx) 1

＝ln 1＋sinx＋sinx ＝1＋sinx＋sinx)－1 ＝－ln(sinx＋1＋sinx) ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．

π π

13．设有函数f(x)＝asin kx3和函数g(x)＝bcos 2kx－6(a＞0，b

π π π 3π

＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为2f2＝g 2，f 4＝－3 π

g4－1，求这两个函数的解析式．

3π

解 ∵f(x)和g(x)的最小正周期之和为2 2π2π3π

∴k2k2k＝2.

π π ∵f 2＝g 2，

ππ

∴asin 223

ππ

＝bcos 4×2－6，

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π π 即a·sinπ－3＝b·cos2π－6. 33

∴2＝2，即a＝b.①

π π

又f 4＝－3g 4－1，

π5π则有a·63b·cos61， 13

即2a＝2b－1.② 由①②解得a＝b＝1， π

∴f(x)＝sin 2x3，

π

g(x)＝cos 4x－6.