第四章 立体的表面交线

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

第四章 立体的表面交线

形体表面常见到两种交线，一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线，另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线，如图4-1所示。

图4-1立体表面交线实例

第一节 平面体的截交线

基本形体经平面切割后形成新的形体，切割基本形体的平面称为截平面，截平面与形体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截面（或断面），它是新形体的一个表面，如图4-2所示。 截交线是相交两表面的共有线，也是它们的分界线，这些分界线是由一系列共有点组成的，因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。

图4-2 平面体截交线的概念

一、 平面体表面取点

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影，求作该点其余的投影，并判别其可见性。在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得；在一般位置平面上的点，则要利用“找点先找线”的方法求得，即过已知点作一辅助直线，求出辅助直线的投影，再求辅助直线上已知点的投影。其次要注意判别点的可见性，即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。

【例4-1】 如图4-3所示，已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影（a’）和b’，求出它们的水平投影和侧面投影。

图4-3 三棱柱表面取点

分析：

由图4-3（a）可以看出，点A的正面投影不可见，可判断A在三棱柱的后棱面上；点B正面投影可见，又位于右侧，可判断B在三棱柱的右侧棱面上，由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性，因此可利用积聚性直接作图。

作图：

① 根据“长对正”的投影规律，如图4-3（b）所示，由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱

面及右侧棱面的水平投影（斜直线）相交，交点即为A点、B点的水平投影a和b。

② 根据“高平齐，宽相等”的投影规律，由a＇、b＇和a、b求得a" 、b"。

③ 判别可见性，点A所在的平面，其水平投影和侧面投影均具有积聚性，所以无需判别它的可见

性。点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见，故b" 不可见，标记为（b"）。

【例4-2】 如图4-4（a）所示，已知三棱锥表面上点M的水平投影m和点N的正面投影n’，求出点它们的水平投影和侧面投影。

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

图4-4 三棱锥表面取点包

分析：

根据点M的水平投影 m可见，且在Δasc 内，可判定点M位于三棱锥后侧棱面上；由于该棱面为侧垂面，则可利用积聚性直接求出 m”。点N的正面投影n’可见，且在Δa´s´b´ 内，可判定点N 于前面左侧棱面上；该棱面为一般位置平面，需借助面内的辅助线求点的其他投影。通常利用平面内的投影面平行线作辅助线，如图4-4中的ⅠⅡ∥AB。

作图：(如图4-4b)

① 利用积聚性求m’、m”。先根据m 在a”s”c”上确定m”，再由m、m" 求出m’ 。

② 作辅助线求n和n” 。过n’ 作平行于a’b’的辅助线ⅠⅡ的正面投影1’2’ ，交s’a’ 于1’ ；在 sa、

s”a” 上定出相应的 1、1”，并作12∥ ab 、1”2”∥ a”b” ，即得辅助线ⅠⅡ 的另两个投影；再在12 及 1”2” 上求出 n和n" 。

③ 判定可见性，点M 所在的后棱面在正面投影中不可见，所以 m’ 不可见，故标记为（m’）。点N 所

在的前面左侧棱面的各个投影均可见，因此n、n”为可见。

二、 平面体截交线的形状及求法

任何平面体被截平面切割，其截交线必定是一个封闭的线框，且一般是一个多边形。多边形的边是截平面与平面体各棱面的交线，其边数为截平面所截到的棱面数；多边形的顶点是平面体上各棱线（或底边）与截平面的交点。

作平面体截交线的投影，首先根据立体特征及截切位置判断截交线的空间形状，然后求出截平面与被截平面体上各棱线的交点，然后顺序连接各交点的同面投影。

【例4-3】 如图4-5所示，已知正三棱锥被正垂面截切，已知其正面投影，求作截交线的水平投影。

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

图4-5 三棱锥斜切的截交线

分析：

截平面斜切三棱锥，其截交线是三角形，要求出它的水平投影，需求出三角形各顶点的水平投影，因为截平面是正垂面，它的正面投影积聚成一直线，这条直线与三棱锥各侧棱投影的交点即为截面各顶点的正面投影，根据直线上点的投影特性及投影规律，可求出各交点的水平投影，依次连接之即为所求。

作图：

① 求截交线各顶点的正面投影1´、2´、3´。

② 由1´、3´点引垂线与水平投影中对应棱线的投影相交，即得截交线顶点Ⅰ、Ⅲ的水平投影1、3。 ③ Ⅱ点的水平投影是通过在棱锥侧面ΔSAB上作辅助线ⅡE平行于AB求出。

④ 连接1、2、3得截交线的水平投影。

【例4-4】 如图4-6（a）所示，已知正六棱柱被截切后的正面投影，试完成其水平投影和侧面投影。 分析：

六棱柱体被两相交平面切割，其中之一是侧平面，截交线为矩形，其正面投影和水平投影均积聚成竖直线，侧面投影反映实形。另一截平面是正垂面，截交线为七边形，其正面投影积聚成倾斜直线，水平面投影与六棱柱表面的投影重合，侧面投影为类似形。两截平面的交线为正垂线。

作图：

① 做出完整六棱柱的侧面投影。

② 由正面的积聚投影求其水平投影，再由正面投影和水平投影做出两组截交线及截平面交线的侧面

投影。

③ 擦去多余的线条，判别可见性，将不可见棱线（右棱线的侧面投影）以虚线画出，加深轮廓线，

完成作图。

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

图4-6 六棱柱斜切的截交线

第二节 曲面体的截交线

一、曲面体表面取点

曲面体表面取点和平面上取点的基本方法相同，即当曲面的一个投影有积聚性时，可利用积聚性投影直接求得点的投影；当点在立体表面的轮廓素线上时，可利用线上取点法作图；当曲面体的各个投影都没有积聚性时，则需利用曲面上的辅助线取点求解。值得注意的是，选择辅助线时，应使辅助线是曲面上的直素线或平行于投影面的圆。

【例4-5】 如图4-7所示，已知圆柱面上A、B两点的正面投影，求作其他两面投影。

形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线.

图4-7 圆柱表面取点包

分析：

因圆柱面的水平投影积聚为一个圆，故A、B两点的水平投影a、b必在该圆周上，由于A、B两点的正面投影a’、b’可见，判定A、B两点位于圆柱的前半柱面上，且点A位于最前轮廓素线上。

作图：

① 过a´、b’ 向下 …… 此处隐藏：8884字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……