第25讲 圆的有关性质

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第六章 圆

第 25 讲 圆的有关性质

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考点一 圆的定义及其性质 1.圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆.固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形.圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋 . 转不变性. .....

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考点二 垂径定理及推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平 分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧.

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考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等. 2.推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等.四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立.

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考点四 圆心角与圆周角 1. 定义： 顶点在圆心上的角叫圆心角； 顶点在圆上， 角的两边和圆都相交的角叫圆周角. 2.性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径.

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1.垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距),则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的. 2.圆心角、圆周角性质的应用. 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关

系定理的应用.

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(1)(2010· 重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC=70° ,则∠AOC 的 度数等于( ) A.140° B.130° C.120° D.110°

例 1(1)题

例 1(2)题

(2)(2010· 哈尔滨)如图， AB是⊙O 的弦， 半径 OA=2, ∠AOB=120° 则弦 AB 的长是( ,举 一 反 三

)

A.2 2

B.2 3

C. 5

D.3 5

(3)(2010· 襄樊)已知：⊙O 的半径为 13 cm,弦 AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则 AB、CD 之间的距离为( ) A.17 cm B.7 cm 考 C.12 cm D.17 cm 或 7 cm 点训 练

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(4)(2010· 南通)如图， 的直径 AB=4, C 在⊙O 上， ⊙O 点 ∠ABC=30° 则 AC 的长是( , A.1 B. 2 C. 3 D.2

)

【点拨】本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质或定理是做好此类题的关键. 【解答】(1)∵∠ABC=70° ,∴∠AOC=2∠ABC=2×70° =140° ,故选 A.

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(2)如图，作 OE⊥AB 于 E,则 OE 平分 AB,即 AE=BE. ∵∠AOB=120° ,∴∠AOE=60° ,∴AE=OA· sin60° 3. = ∴AB=2AE=2 3,故选 B. (3)当两条平行弦在圆心同侧时，AB、CD 之间的距离为 7 cm,当两条平行弦在圆心异侧 时，AB、CD 之间的距离为 17 cm,故选 D. (4)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° . 1 又∵∠ABC=30° ,∴AC= AB=2,故选 D. 2

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(1)(2010· 南通)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足 P 是 OB 的中点，CD=6 中 cm,求直径 AB 的长.考 典 例 精 析

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例 2(1)题

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例 2(2)题

(2)(2009· 南充)如图，半圆的直径 AB=10,点 C 在半圆上，BC=6. ①求弦 AC 的长；②若 P 为 AB 的中点，PE⊥AB 交 AC 于点 E,求 PE 的长.

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【点拨】(1)题考查垂径定理及其推论. (2)题主要考查“直径所对的圆周角为直角，勾股定理及三角形的相似判定和性质”,属 于综合题.仔细审题，明确已知和未知条件是关键.

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【解答】(1)连结 OC、BC,则根据 AB⊥CD 且 P 是 OB 的中点，得 OC=BC. ∵OC=OB,∴OC=OB=BC,∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=60° . 1 1 由垂径定理得 CP= CD= ×6 cm=3 cm. 2 2 CP 在 Rt△POC 中，

tan∠COP= = 3,∴OP= 3 cm OP ∴AB=2OB=4OP=4 3 cm. (2)①∵AB 是半圆的直径，点 C 在半圆上， ∴∠ACB=90° Rt△ABC 中， .在 AC= AB2-BC2= 102-62=8 ②∵PE⊥AB,∴∠APE=90° 又∠ACB=90° . , ∴∠APE=∠ACB.又∵∠PAE=∠CAB, 1 10× 2 PE AP PE 15 ∴△AEP∽△ABC,∴ = ,∴ = ,∴PE= . BC AC 6 8 4

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1. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO=32° ,则∠COB 的度数等于 64° .

2.如图，⊙O 的直径 CD=10,弦 AB=8,AB⊥CD,垂足为 M,则 DM 的长为 8.

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3.如图，△ABC 内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD 为⊙O 的直径，AD=6,那么 BD =3 3.

(第 3 题)