华南理工大学高数下答案(第八章：重积分)

二重积分的概念和性质

D

1、 利用二重积分的性质，比较下列积分的大小

1）

23

x yd x yd 与 D

a）D是由直线x 0,y 0及x y 1所围成的闭区域 解：因为在区域内0 x y 1 x y x y ，所以

23

x yd x yd D2

2

3

D

b）D由圆周 x 2 y 1 2所围成的闭区域 解：因为在区域内x y 1 x y x y ，所以 2）

23x yd x yd D

D2

3

2

e

D

xy

d 与 e2xyd

D

a）D是闭矩形区域：0 x 1,0 y 1 解：因为在区域内0 xy 1 exy e2xy，所以

e

D

xy

d e2xyd

D

b）D是闭矩形区域： 1 x 0,0 y 1 解：因为在区域内 1 xy 0 e e

xy

2xy

，所以

xy2xyed e d D

D

2、 利用积分的性质，估计下列各积分的值

1）I

xy x y d ，其中D是矩形闭区域0 x 1,0 y 1

D

解：因为在闭区域内0 xy x y 2，且闭区域的面积为1，所以 0 2）I

xy x y d 2

D

x y 1 d ，其中D为矩形闭区域0 x 1,0 y 2。

D

解：因为在此闭区域内1 x y 1 4，且此闭区域体积为2，所以

2

x y 1 d 8

D

3、 设积分区域D是以原点为中心、半径为r的圆域，求极限

1

lim2

r 0 r

e

D

x2 y2

cos x y dxdy

解：利用积分中值定理，存在 a,b D使得

xe D

2

y2

cos x y dxdy r2ea

2

b2

cos a b

注意当r 0时， a,b 0,0 ，所以 lim

1

r 0 r2

x eD

2

y

2

cos x y dxdy limea

a 0b 0

2 b

cos a b 1

2

4、 设D是非空的开区域，是由D和D的边界构成的平面有界闭区域，函数f x,y 在

上连续而且非负，又

f x,y d 0

，求证：在上，f x,y 0。

证明：假设存在 x0,y0 使得f x0,y0 0，由连续性可得存在面积大于零区域

D1 使得对于任给的 x,y D1有f x,y 0，由积分中值定理可得

f x,y d 0

D1

f x,y d f x,y d f x,y d f x,y d 0

D1

D1

D1

这与

f x,y d 0

矛盾，所以在上，f x,y 0。

5、 设D是平面有界闭区域，函数f x,y 和g x,y 在D上连续，g x,y 在D上不变号，

求证：存在点 , D，使得

f x,y g x,y d f , g x,y d

D

D

证明：因为函数f x,y 在D上连续，存在常数M,m在D内恒有 m f x,y M

又因为g x,y 在D上不变号，无妨设g x,y 0，则有

mg x,y f x,y g x,y Mg x,y

由比较性质m g x,y d f x,y g x,y d M g x,y d

D

D

D

m

f x,y g x,y d

D

g x,y d

D

D

M

由介值定理存在点 , D，使得

f x,y g x,y d

g x,y d

D

f ,

f x,y g x,y d f , g x,y d

D

D

1、试将二重积分

二重积分的计算

f x,y d 化为两种不同的二次积分,其中区域D分别为：

D

1） 由直线y x,x 3及双曲线xy 1所围成的区域。

D

f x,y d dx1f x,y dy

1

x

3x

f x,y d dyf x,y dx

D

13

1y

133

1

dy f x,y dx

y

3

2） 环形闭区域：1 x y 4

22

f x,y d

D

1

2

dxf

x,y dy dx

12

1

f

x,y dy

f

x,y dy

1

1

dxf

x,y dy dx1

f x,y d

D

1

2

dyf

x,y dx dy

12

1

f

x,y dx

f

x,y dx

dy 1

1

f

x,y dx dy1

D

f x,y d d f rcos ,rcos rdr

1

2 2

2、改变下列二次积分的次序 1） 2） 3）

dy0

1ylnx

f

x,y dx f x,y dy

3

1

dx 2f x,y dy。

x10

x

e

11

dx

02y

1

dy yf x,y dx

e3 y0

e

。

dy

f x,y dx dy

f x,y dx

2

dxx

3 x

f x,y dy。

2

3、画出积分区域，并计算二重积分 1）

x ye d ，其中D是由x y 1所确定的闭区域。

D

解：原式

1

dx

x 1

x 1

ex ydy dx

1 x 1

x 1

ex ydy

e

1

2x 1

e

1

dx e e dx

2x 1

1

1 1

e2x 1 e 1x ex e2x 1

2 2 1 0

2）计算

01

D

13111

e e 1 e e e 1 e 2222e

x2 y2d ，其中D是由不等式0 y sinx,0 x 围成的闭区域。

解：原式

dx

sinx

x

2

y2 dy

2y3

xy 3 dx 0

sinx

3

2sinx xsinx x d

3

21co3sx

xcosx 2xsinx 2cosx cosx

39 0

11 11 40

2 2 2 2

39 39 9

3）

xcos x y d ，其中D是顶点分别为 0,0 , ,0 , , 的三角形区域。

D

解：原式

dx xcos x y dy

x

x xsin2

xsi nxd x

1 x

cosx2

4 2

sixn 2x

xc osx s in

0

3

22

4）

siny

（注：在 d ，其中D是由抛物线x y2与直线y x所围成的闭区域。 yD

原点处，补充被积函数的值为1）。 解：原式

1

dy 2

y

y

siny

dx y

siny ysiny dy

1

1

cosy ycosy siny 0 1 sin1 4、求由曲线y2 2px p2,y2 2qx q2

p,q 0 所围成闭区域的面积。

q p 22

x y 2px p

2，所求闭区域面积 解：解方程组 2得 2

y

y 2qx q

S dxdy

D

q2 y22qy2 p22p

dx

p q y3

pqy

pq 3 0

2

2

2

5、求由下列曲面围成的立体的体积：z x y,y xy 1,z 0。

124x6 88解：V x y dxdy

dx 2 x y dy 2 x x …… 此处隐藏：7994字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……