圆锥曲线2015年高考题

专题十六 平面几何初步

1.（15北京文科）圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是（ ）

A． x 1 y 1 1 B． x 1 y 1 1 C． x 1 y 1 2 D． x 1 y 1 2 【答案】D 【解析】

试题分析：由题意可得圆的半径为r 考点：圆的标准方程.

2.（15年广东理科）平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y2 5相切的直线的方程是 A．2x y 0或2x y 0 B. 2x y 5 0或2x y 0 C. 2x y 5 0或2x y 5 0 D. 2x y 5 0或2x y 5 0 【答案】D．

2

2

2

2

2

2

2

2

x 1 y 1 2.

22

【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．

3.（15年新课标2文科）

已知三点A(1,0),BC,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）

54A.

D. 33【答案】B

考点：直线与圆的方程.

x2y24.（15年新课标2文科）已知椭圆C:2 2 1 a b 0

,

点在

ab C上.

（I）求C的方程；

（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

x2y2

【答案】（I）2 2 1（II）见试题解析

84

考点：直线与椭圆

5.（15年陕西理科）设曲线y ex在点（0,1）处的切线与曲线y 线垂直，则p的坐标 为 ． 【答案】 1,1 【解析】

试题分析：因为y e，所以y e，所以曲线y e在点 0,1 处的切线的斜率

x

x

x

1

(x 0)上点p处的切x

k1 y

，则y0 x 0 e 1，设 的坐标为 x0,y0 （x0 0）

11

，因为y ，所以

xx0

y

11

y ，所以曲线在点 处的切线的斜率k2 y 2

xx

x x0

1

，因为k1 k2 1，2x0

所以

12

，即 1x 1，解得x0 1，因为x0 0，所以x0 1，所以y0 1，即 的02

x0

坐标是 1,1 ，所以答案应填： 1,1 ．

考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．

6.（15年天津理科）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE 分别经过点M,N .若CM 2,MD 4,CN 3 ，则线段NE 的长为 （A）

8105 （B）3 （C） （D）

323

【答案】A 【解析】

试题分析：由相交弦定理可知，AM MB CM MD,CN NE AN NB，又因为M,N

是弦AB的三等分点，所以AM MBAN N BC NN EC ，M所以

NE

CM MD2 48

，故选A.

CN33

考点：相交弦定理.

7.（15年天津文科）如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为（ ） (A)

8105 (B) 3 (C) (D) 332

【答案】A

【解析】

试题分析：由相交弦定理可

CM MD CN NE

考点：相交弦定理

1CM MD8AB AB NE , 故选A. 3CN3

x2y28.（15年天津文科）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,

离心率为,

ab5

（I）求直线BF的斜率；

（II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M,|PM|=l|MQ|. （i）求l的值； （ii

）若|PM|sinÐBQP求椭圆的方程. x2y27

1. 【答案】（I）2；（II）（i） ；（ii）

854

【解析】

试题分析：（I）先

由

c 及a2 b2

c2,得a,b 2c,直线BF的斜率

a5

k

b 0b

2；（II）先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得

0 cc

xM xPxQ xM

7 .xQ8xP

（

ii

）

先

由

PM

MQ

|PM|sinÐBQP=

9

得

15

BP=|PQ|sinÐ

BQP=|PM|sin?BQP

7

试题解析：（I）F c,0 ,

由已知

x2y2 1. 由此求出c=1,故椭圆方程为54c222

及a b c,

可得a ,b 2c ,又因为

a5

B 0,b ,故直线BF的斜率k

b 0b

2 .

0 cc

x2y2

（II）设点P xP,yP ,Q xQ,yQ ,M xM,yM ,（i）由（I）可得椭圆方程为2 2 1,

5c4c

直线BF的方程为y 2x 2c ,两方程联立消去y得3x2 5cx 0, 解得xP

5c

.因为3

1

BQ BP,所以直线BQ方程为y x 2c ,与椭圆方程联立消去y得21x2 40cx 0 ,

2

解得xQ

xM xPxPM740c

P . .又因为 ,及xM 0 得

21xQ xMxQ8MQ

（ii）由（i）得

PMMQ

PM15777

PM ,

又因为,所以 ,即PQ 78PM MQ7 815

. 3

|PM|sinÐBQP=

15

,所以BP=|PQ|sinÐ

BQP=|PM|sin?BQP97

4 c,因

此又因为yP 2xP 2c c, 所

以BP 33x2y2 1. c 1 ,所以椭圆方程为

54考点：直线与椭圆.

9.（15年湖南理科）

10.（15年山东理科）一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆(x 3) (y 2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为

(A) 或

2

2

5

33335443 (B) 或 (C) 或 (D) 或 5224534

解析：( 2, 3)关于y轴对称点的坐标为(2, 3)，设反射光线所在直线为y 3 k(x 2),即

kx y 2k 3 0，

则d

34

1,|5k 5| 解得k 或 ，答案选(D)

43

11.（15年江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线

mx y 2m 1 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

【答案】(x 1)2 y2

2.

考点：直线与圆位置关系

专题十七 圆锥曲线与方程

x2

1.（15北京理科）已知双曲线2 y2 1 a

0 y 0，则a a

【答案】

3

考点：双曲线的几何性质

x2y2

1 和点2.（15北京理科）已知椭圆C：2 2 1 a b

0 ，点P 0，

ab

A m，n m≠0 都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得 OQM ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】

x2y2

1 在椭圆上，利用试题分析：椭圆C：2 2 1 a b

0 ，点P 0，

ab

条件列方程组，解出待定系数a

2

1 和点 2,b2 1，写出椭圆方程；由点P 0，

A m，n m≠0 ，写出PA直线方程，令y 0求出x值，写出直线与x轴交点坐标；

由点P(0,1),B(m, n)，写出直线PB的方程，令y 0求出x值，写出点N的坐标，设Q(0,y0)， OQM ONQ, tan OQM tan ONQ求出tan OQM和

tan

ONQ，利用二者相等，求出y0

，则存在点Q（0，

OQM ONQ.

使得x2y2

1 试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C：2 2 1 a b 0 过点P 0，

ab

1

b2x2

2

c2a2 b211

1,b 1, e 2 1 ，a2 2，椭圆C的方程为22

2aaa

2