第1讲 变化率与导数、导数的运算

高考数学

第1讲 变化率与导数、导数的运算

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第1讲 变化率与导数、导数的运算

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【2013 年高考会这样考】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几 何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数 求导.

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基础梳理 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f x2 -f x1 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 . x2-x1 Δy 若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 Δx .

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2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上 点(x0,f(x0))处切线的 斜率 .相应地，切线方程为 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0).

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3.函数 f(x)的导函数

称函数 f′(x)= 有时也记作 y′. 4.基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c,则 f′(x)=0;

为 f(x)的导函数， 导函数

若 f(x)=xα(α∈R),则 f′(x)= αxα-1 ; 若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x;

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若 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= axln a ; 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex; 1 若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= xln a ; 1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= . x

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5.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f x (3) g x ′=

f′ x g x -f x g′ x [g x ]2

(g(x)≠0).

6.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u), u=g(x)的导数间的关 系为 yx′= yu′·x′. u

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一个区别 曲线 y=f(x)“在”点 P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的 切线的区别： 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k=f′(x0),是唯一的一条切线；曲线 y= f(x)过点 P(x0,y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切 点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

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两种法则 (1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘 法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏.

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双基自测 1.下列求导过程中 1 1 ① x ′=-x2;②(

x)′=

1 2

ln x ;③(logax)′= ln a ′= x

1 ;④(ax)′=(el

n ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a xln a 其中正确的个数是( A.1 答案 D B.2 ). C.3 D.4

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2.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为 ( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) ).

解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 C

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π sin x 1 3.(2011· 湖南)曲线y= - 2 在点M 4,0 处的切线的 sin x+cos x

斜率为( 1 A.-2 解析

). 1 B.2 2 C.- 2 2 D. 2

本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求

解能力. cos x sin x+cos x -sin x cos x-sin x 1 y′= = ,把x= sin x+cos x 2 1+sin 2x π 1 代入得导数值为 . 4 2 答案 B

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4.(2011· 江西)若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为 ( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) ).

4 2 x-2 x+1 解析 令f′(x)=2x-2- = >0,利用数轴标根 x x 法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故选C. 答案 C

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5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标 分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=______;li f 1+Δx -f 1 =________(用数字作答). Δx Δx→0 m

答案

2 -2