近世代数 群练习2012年4月群测试题及答案

近世代数 习题

1．证明集合{1, 1,i, i}关于数的乘法构成交换群。

2．设m是大于1的正整数，Zm为Z的模m的剩余类集，记U(m)={a∈Zm／（a,m）=1}，证明：U(m)关于剩余类的乘法构成群。

3．设G为群，记C(G)={ g∈G／gx=xg, x∈G }，证明：C(G)是G的子群。

4．在整数加群Z中，H1={2z／z∈Z}, H2={3z／z∈Z}，判断下列子集H是否构成Z的子群，

并说明理由。（1）H=H1∩H2 (2) H=H1∪H2

5．设群U4={1, 1,i, i}是四次单位根群，K={e,a,b,ab}是由元素a，b和关系a2=b2=e及ab=ba所定义的群，问U4与K是否同构，并说明理由。

123456 6．将σ= 436152 表为不相交的循环置换的乘积。

7．将下列乘积 (3654)(3241)(31524)表为不相交的循环置换的乘积。

8．设σ是一个7阶置换，已知σ3=(1437562)，试求σ。

9．设G为群，H为G的一个子群，如果G是交换群，证明商群G/H也是交换群。

10.在S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的不变子群，求商群S3/H。

11.判断下列G到G’的映射是否是同态，若是，求同态映射的核。

(1) G，G’是两个群，e’是G’的单位元，令

φ:a→e'， a∈G

(2)G是整数加群Z，G’是全体非零实数R*关于数的乘法所构成的乘法群。

φ:n→( 1)n

(3)R[x]为全体实系数多项式关于多项式的加法所构成的群。

φ:f(x)→f′(x)

(4) 设G为群，H为G的一个不变子群，对商群G/H，令

φ:G→G/H

a→aH

近世代数 习题

答案：

3．见教材71页例2。

4．（1）构成，H1、H2均为H的子群，子群的交仍为子群。

（2）不构成，因为2∈H1，3∈H2，而2+3=5 H1∪H2，故H1∪H2对运算不封闭，即H1∪H2不构成Z的子群。

注：子群的并不一定构成子群。

5．解：若U4与K同构，设φ是U4到K的同构映射，令φ(i)=x，由K的特点得x=e，2φ(i)φ(i)=x2=e，即φ(i2)=φ( 1)=e，而φ(1)=e，由于φ是单射，所以 1=1矛盾，从而U4与K不同构。

6．解：原式得(14)(236)

7．原式得(142)(356)

8．解：

5σ是一个7阶置换，由教材第二章第六节习题4得σ7=(1)，5σ=(σ3)=(1437562)=(1674253)

10．S3/H={(1)H,(12)H}

11．（1）任取a,b∈G，φ(ab)=e′=e′e′=φ(a)φ(b)，得φ是同态映射，核为G

（2）任取m,n∈G，φ(m+n)=( 1)

体。

（3）任取f(x),g(x)∈R[x]，φf(x)+g(x)=φf(x)+φg(x)，得φ是同态映射，核为R

（4）任取a,b∈G，φ(ab)=(ab)H=aH bH=φ(a)φ(b)，得φ是同态映射，核为H。 m+n=( 1)m( 1)n=φ(m)φ(n)，得φ是同态映射，核为偶数全()()()