2013湖南高考数学文科试题及解析

2013湖南高考数学文科试题及解析,完全word版,方便使用及编辑,教师学生共享完美试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数 学（文史类）

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一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（ 1+i）1.复数z i( i为虚数单位)在复平面上对应的点位于______

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的______

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=______

A.9 B.10 C.12 D.13 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f( 1)+g(1)=2，f(1)+g( 1)=4，则g(1)等于____ A.4 B.3 C.2 D.1

5.在锐角 ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b.

若2asinB，则角A等于______ A.

3

B.

4

C.

6

D.

12

6.函数f(x) lnx的图像与函数g(x) x2 4x 4的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.3

7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1

的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______ A．

B.1

b=0.若向量c满足|c a b|=1,则|c|的最大值为________

8.已知a,b是单位向量，a

1

1

2

9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为.，则

1

2

AD

=____ AB

A.

11

B.

24

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合U {2,3,6,8},A {2,3},B {2,6,8},则(ðUA) B _____

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x 2s 1, x at,

11.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1: （s为参数）和直线l2: （t为参数）平

y sy 2t 1

行，则常数a的值为_____

12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1, b=2,则输出的a的值为______

x 2y 8,

13.若变量x,y满足约束条件 0 x 4,则x y的最大值为______

0 y 3,

x2y2

14.设F1，F2是双曲线C，2 2 1 (a>0, b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P，使

ab

PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.

15.对于E={a1,a2, ,a100}的子集X={ai1,ai2, ,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2, ,x100,其中

xi1 xi2 aik 1，其余项均为0，例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…,0

(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于(2) 若E的子集P的“特征数列” p1,p2, ,p100满足p1 1，pi pi 1 1, 1≤i≤99;

E 的子集Q的“特征数列” q1,q2, ,q100满足q1 1，qj qj 1 qj 2 1， 1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为_________.

三、解答题；本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

cos(x 已知函数f(x) cosx

(Ⅰ)求f(

3

).

2

)的值； 3

1

(Ⅱ)求使 f(x) 成立的x的取值集合

4

17.(本小题满分12分)

如图2.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱

BB1上运动．

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（I） 证明：AD⊥C1E；

（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱柱C1-A2B1E的体积．

18.（本小题满分12分）

某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

XY1234

51484542

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。 （Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y51484542

频数4

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

19.（本小题满分13分）

设Sn为数列{an}的前项和，已知a1 0，2an a1 S1 Sn，n N

（Ⅰ）求a1，a2，并求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛nan｝的前n项和。

20.（本小题满分13分）

x2

已知F1，F2分别是椭圆E: y2 1的左、右焦点F1，F2关于直线x y 2 0的对称点是圆C的

5

一条直径的两个端点。

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（Ⅰ）求圆C的方程；

(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。

21.（本小题满分13分）已知函数f(x) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f(x1) f(x2) (x1 x2)时，x1 x2 0.

参考答案

一、选择题

1．B解： z = i·(1+i) = i – 1.所以对应点(-1,1).选B

2．A解： 若“1＜x＜2”成立，则“x＜2”成立,所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分条件； 若“x＜2” 成立，则“1＜x＜2”不一定成立, 所以“1＜x＜2”不是“x＜2”的必要条件. 综上，“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件.选A

3．D解： 从甲乙丙三个车间依次抽取a,b,c个样本，则120:80:60 a:b:3 a 6,b 4 n = a + b + c=13. 选D

4．B解： 由题知f（－1）+g（1）= - f（1）+g（1）= 2,

f（1）+g（－1）= f（1）+ g（1）= 4.上式相加，解得g(1) = 3 . 选B

5．A解： 由2asinB=

1 xx

e. 2

1 x

b得: 2sinA sinB = 3 sinB sinA =

3 ，A A = 223

选A

6．C解： 在同一坐标系中画出对数函数f（x）=㏑x的图像和二次函数g（x）=x2-4x+4的图像，观察可知交点个数为2个。 选C

7．D解： 正方体的侧视图面积为

2 1 2，所以侧视图的底边长为2..正视图和侧视图完全相同，所以面积也为2.选D

8．C解： a,b是单位向量， |a b| 2.可以这样认为：在直角坐标系中,

定点E(2,0)，动点F满足|OF| 1 |EF| 2 1

选C

9．D解： 设CD 4，根据对称性,由题中条件知，P的活动范围为2,即CP (1,3).

当`CP 3时,BF 4，解得BC 42 32 7. AD:AB 7:4

选D

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10． {2，6，8} 解： CUA {6,8}，(CUA) B B {6，8}.

11．4解： 直线l1:x 2y 1,直线l2:ay 2x a.若直线l1//直线l2则K1 K2 a 4. 12． 4解： a = a + b + b + b…… = 1+2+2+2+2=9. 13． 6解：

区域的顶点坐标分别是点（4,2），（35

,2