空间向量与立体几何知识点总结zy

空间向量与立体几何知识点总结

空间向量与立体几何知识点总结

一、基本概念: 1、空间向量：

2、相反向量： 3、相等向量： 4、共线向量： 5、共面向量： 6、方向向量: 7、法向量 8、空间向量基本定理： 二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则

(1) a＋b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)； (2) a－b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)；

(3)λa＝( a1, a2, a3) (λ∈R)； (4) a·b＝a1b1 a2b2 a3b3；

2.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

AB OB OA= (x2 x1,y2 y1,z2 z1).

rr

3、设a (x1,y1,z1)，b (x2,y2,z2)，则

rrrrrrrrrr

aPb a b(b 0)； a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0.

4.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b

3)，则cos a,b

5．异面直线所成角

.

rr

rr

|a b|

cos |cosa,b|=

|a| |b|

.

6．平面外一点p到平面 的距离

AB 已知为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法

n

|AB n|向量，A到平面 的距离为：d |n|

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空间向量与立体几何知识点总结

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1.如图，棱长为2的正方体ABCD ABC111D1在空间直角坐标

系中，若E,F分别是BC,DD1中点，则EF的坐标为（ ）

A.(1,2, 1) B.( 1,2, 1)

C.( 1, 2,1) D.(1, 2, 1)

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝

A1B1

，则BE1与4

DF1所成角的余弦值是（ ）

A．

15 178 17

B．

1 2

C．D．

3 2

3.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，

若PA a，PB b，PC c，则BE （ ）

1 1 1 1 1 1 A.a b c B.a b c 2222221 3 1 1 1 3 C.a b c D.a b c 222222

二、填空题

4.若点A(1,2,3),B( 3,2,7),且AC BC 0,则点C的坐标为______.

AD与平面A1BC1夹角的余弦值为_____. 5．在正方体ABCD ABC111D1中，直线

三、解答题

1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB1与底面ABCD所成的角为（1）求证BD1 面AB1C

（2）求二面角B1 AC B的正切值

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， 4

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2．在三棱锥P ABC中，AB AC 3

AP 4,PA 面ABC, BAC 90 , D是PA中点,

点E在BC上,且BE 2CE,

(1)求证：AC BD；

(2)求直线DE与PC夹角 的余弦值； (3)求点A到平面BDE的距离d的值.

3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角． （1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

4、已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点． （1）求证：E、F、D、B共面；

（2）求点A1到平面的BDEF的距离； （3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．

5、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小； （Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；

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