金湖县实验中学高中数学奥赛辅导简单的函数方程(一)

函数方程的概念：

1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程

4.定理（柯西函数方程的解）

若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得

f(x1＋x2＋…＋xn)=f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)

取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）

x=1，则f(n)=nf(1)

mmm1m x=，则f(m)=nf() ，解得f()=f(m)= f(1) --------- (2) nnnnn

m x=－，且令y=－x＞0，则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 n

∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)

另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数

序列{xn}，则有 ：f(x)=limf(xn)=limxnf(1)=xf(1) n n

综上所述，对于任意实数x，有

f(x)=xf(1)

函数方程的解法：

1.代换法（或换元法）

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数

例1 （1）已知f(2x－1)=x2＋x，那麽f(x)=______________。

略解：设t=2x－1，则x=1111 (t＋1)，那麽f(t)= (t＋1)2＋ (t＋1)=t2

22 4 4

＋t＋3 4

123x＋x＋ 4 4

故f(x)=

(2) 已知f(x＋1)=x＋2x，那麽f(x)=____________。

略解：f(x＋1)=(

1

xx＋1)－1，故f(x)=x－1 (x≥1) 22(3) 已知f(x＋)=x2＋

1

x1x1，那麽f(x)=_______________。 2x 略解：f(x＋)=(x＋)2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2)

例2 设ab≠0,a2≠b2，求af(x)＋bf()=cx的解

解：分别用x=1x1，x=t代入已知方程，得 t

1caf()＋bf(t)=------(1) t t

1af(t)＋bf()=ct------(2) t

c(at2 b)由（1），（2）组成方程组解得 f(t)= 22 (a b)t

c(ax2 b) 即： f(x)= 22 (a b)x

2.待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得

例3 已知f(x)是一次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x＋1023。求f(x)

10次

解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则

n次

f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)

f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)

b(1 a10)依次类推有：f10(x)=ax＋b(a＋a＋…＋a＋1)=ax＋ 1 a109810

由题设知：

b(1 a10)a=1024 且=1023 1 a10

∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3

∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3

3.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）

由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法 例4 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x)

解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1

再依次令x=1，2，…，n－1，有

f(2)=f(1)＋2

f(3)=f(2)＋3

……

f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)

f(n)=f(n－1)＋n

依次代入，得

f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=n(n 1) 2

∴f(x)=x(x 1) 2

(x∈N+)

例5 ，已知f(1)=1f(n 1)2nf(n 1) 1且当n＞1时有。求f(n) (n∈N+) f(n)1 2f(n)5

解：把已知等式（递推公式）进行整理，得

f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－1) ∴1

f(n)1=2(n＋1) f(n 1)

把n依次用2，3，…，n代换，得

11－=2×3 f(2)f(1)

11－=2×4 f(2)f(3)

……

1

f(n)1=2(n＋1) f(n 1)

上述(n－1)个等式相加，得

1

f(n)

1=2[3＋4＋…＋(n＋1)]=(n－1)(n＋4) f(1)

∴11=＋(n－1)(n＋4)=n2＋3n＋1 f(n) f(1)

1 2 n 3n 1∴f(n)=4.柯西法

在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解 例6 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x＋y)=f(x)f(y)的解

解：∵f(x)=f(xxxx＋)=f()f()≥0 2222

若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有

f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0

这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)＞0

对题设f(x＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得

㏑f(x＋y)=㏑f(x)f(y)

∴㏑f(x＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y)

令g(x)=㏑f(x)

∵f(x)＞0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x＋y)=g(x)＋g(y).由定理知： g(x)=g(1)x

故 ㏑f(x)=x㏑f(1)

∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x

令f(1)=a，则f(x)=ax (a＞0)

类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：

（1） 若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax

（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2

（3） 若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx

（4） 若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b

课后练习：

1、 下面四个数中，满足f

A.㏑x B. x y 1 =[f(x)＋f(y)]的函数是 （ ） 2 21 C.3x D.3x x

2、 如果对x∈R有2f(1－x)＋1=xf(x)，那麽f(x)=__________。

3、 对任意实数x,y，函数f(x)有f(x＋y)=f(x2)＋f(2y)，则f(1985)=( )

A.1985 B. C.3990 D.以上答案都不对

4、 已知f(1)=1,f(n)－f(n－1)=an,n∈N+。求f(n)

5、 解方程 xf(x)＋2f(x 1)=1 x 1

f x f y ，求fx fy6、 已知f(x)连续且定义在非零实数集上，满足f x y

f(x)

7、