沪教高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线

课题：7.6直线与圆锥曲线

【知识点梳理 】:1、直线与圆锥曲线位置关系的判定：直线 l : y kx b 与曲线 C : F ( x, y ) 0 的位置关系，可以通过方程组

y kx b F ( x, y ) 0 解的个数来判断： y kx b (1)直线 l 与曲线 C 相交 方程组 F ( x, y ) 0有两组不同的解 有唯一解

;

y kx b (2)直线 l 与曲线 C 相切 方程组 F ( x, y ) 0

;

y kx b l 注意：方程组 F ( x, y ) 0 有唯一解，直线 与曲线 C 未必相切，

y kx b 无解 。 (3)直线 l 与曲线 C 相离 方程组 F ( x, y ) 0

2 . 求直线 l : y kx b 与曲线 C : F ( x, y ) 0 相交所得弦的弦长一般步 骤：

y kx b (1)联立方程 F ( x, y ) 0 ;2 x 或 y ax bx c 0 ; (2)消元，得关于 的一元二次方程：

计算 0 ,确定参数范围 (3 ) ;(4)利用弦长公式： A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )

1 2 AB 1 k x1 x2 1 y1 y2 1 k a k 2

2

3、弦的中点问题： 弦的中点问题常见两种题型： 求中点弦所在直线方程；求弦的中点的轨迹或方程。 处理这类问题可用“点差法” ,一般步骤是： (1) 设 弦 的 端 点 坐 标 为 虑

x1 , y1 、 ( x2 , y 2 )

, 要 考

x1 x2

;

(2) 将这两点坐标代入圆锥曲线方程并作差； (3) 运用 中点坐标公式及斜率(4) 检验 0 。

公式；

【例题精讲】:例 1. 过点 (0, 3) 的直线 l 与下列曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程：

x2 y2 1 (1)椭圆 4 ;解： 当 k 不存在时，直线 l 与椭圆有两个交点，不合题意。

设直线 l 的方程为 y kx 3

y kx 3 2 2 2 (1 4 k ) x 24kx 32 0 x 2 y 1 4

(24k ) 2 4 32 (1 4k 2 ) 0 k 2 直线 l 的方程为 y 2 x 3 。

例 1. 过点 (0, 3) 的直线 l 与下列曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程：x2 y 2 (2)双曲线 4 3 1 ;解：

当 k 不存在时，直线 l 与双曲线没有交点，不合题意。

设直线 l 的方程为 y kx 3

y kx 3 2 2 2 2 (3 4 k ) x 24kx 48 0 x y 1 4 3当 3 4k 0 即 k 2

3 2 2 k (24 k ) 4 48 (3 4 k ) 0 k 3 当 2 时，直线与双曲线相切，有一个公共点；

3 2 时，直线平行于渐近线，与双曲线有一个公共点；

3 y x 3。 直线 l 的方程为 y 3 x 3 或 2

例 1. 过点 (0, 3) 的直线 l 与下列曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程：2 x y 。 (3)抛物线

解： 当 k 不

存在时，直线 l 为抛物线的对称轴，与抛物线有一个交点，

合题意。

设直线 l 的方程为 y kx 3

y kx 3 x 2 kx 3 0 2 x y

k 2 12 0, k 2 3

直线 l 的方程为 y 2

3x 3 或 x 0 。

例 2. 斜率为 1 的直线 l :

y

x2 y2 x b 与椭圆 4 2 1 交于 A, B 两点，O 是

坐标原点， (1)求实数 b 的取值范围；解：

y x b 2 2 2 2 3 x 4 bx 2 b 4 0 联立 x y 1 2 4

16b 2 12(2b 2 4) 48 8b 2 0 b 6 , 6 (2)当 AOB 面积最大时，求直线 l 的方程。解：

设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )

记原点O到直线的距离为d,

2 2 b 4 6 b 48 8 b 2 d , 2 AB 1 k 由(1)知： 3 2 3 3 2 2 1 2 2 2 b 3 9 S AOB AB d b 6 b 3 2 3 b 6 , 6 当b 3时, Smax 2 , l : y x 3

例 3. 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (1)求证：OA⊥OB;证明：

y

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,消去x后，整理得：M

A

y2 x 联立 y k ( x 1)

N B

O

x

ky y k 02

k 0 时，直线为抛物线的对称轴，与抛物线只有一个交点，不合题意。 k 0, 且 1 4k 2 0.2

y1 y2 1

x1 x2 y1 ( y2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 1 x1 x2 y1 y2 0 OA OB.

例 3. 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (2)当△OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值.解： 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 记原点O到直线的距离为d,A M N B O x y

由(1)知：

ky y k 0 1 y1 y2 , y1 y2 1 k2

y1 y2

y1 y2 2

2

1 4 4 y1 y2 2 k d

1 1 1 AB 1 y1 y2 2 1 2 4 k k k

k 1 k 2

1 1 1 S OAB AB d 4 10 2 2 2 k

1 k . 6

x2 y2 例 4.(1)在双曲线 16 4 1 ,求经过点 P(8,1) 且被 P 平分的

弦所在的直线方程.解：

(方法一)由题意可知所求直线的斜率存在. y 1 k ( x 8) 2 y2 x 1 联立 16 4

设直线方程： y 1 k ( x 8)

消 y,得： (1 4k 2 ) x 2 (64k 2 8k ) x 256k 2 64k 20 0 1 4k 2 0, 由题意， ( ) 0

64k 2 8k x1 x2 又x1 x2 , 8 2 4k 1 2

k 2 代入( )检验成立.

所求直线方程是 2 x y 15 0

x2 y2 例 4.(1)在双曲线 16 4 1 ,求经过点 P(8,1) 且被 P 平分的

弦所在的直线方程.解： (方法二)点差：

设弦的两端

点为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .2 2 x12 x2 y12 y2 两式相减： 16 16 4 4

x12 16 则 2 x2 16

y12 1 4 2 y2 1 4

( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 16 4由题意知 x1 x2 .

直线AB : 2 x y 15 0 x2 y2 检验：联立 16 4 1 2 x y 15 0

又x1 x2 16, y1 y2 2

y1 y2 2 x1 x2

消y, 0

所求直线: 2 x y 15 0

例 4.(2)求过点(0,2)的直线被椭圆 x2+2y2=2 所截弦的中 点的轨迹方程.解：设 M ( x ,

y ) 是所求轨迹上任意一点， A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 是弦的两个

端点， C (0,2) 。

x12 2 y12 2 有 2 2 x 2 y 2 2 2

x1 x2 2 y1 2 y2 0

2

2

2

2

x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y2 y1 y2 y1 x x2 x1 2y

当 x1 x2 时，弦 AB 为椭圆的短轴，点 M 位坐标原点；

y2 y1 y 2 x y 2 2 2 k AB k MC x 2 y 4y 0 x2 x1 x 0 2y x 2 2 所截弦的中点的轨迹方程是 x 2 y 4 y 0 (在已知椭圆内部部分)。

当x1 x2时, x1 x2 2 x, y1 y2 2 y,

例5、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.解： 设点 P( x0 , y0 ) 是抛物线上任一点,d 是点 P 到直线 L 的距离.2 y 0 4 x0 3 y0 46 2 3 y0 46 2 ( y 24 ) 160 则y0 64 x0 d 0 16 4 2 32 y 80 5 因为y0 R …… 此处隐藏：2262字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……