高考数学三角函数典型例题

高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题

1 ．设锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a 2bsinA.

(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求cosA sinC的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由a 2bsinA,根据正弦定理得sinA 2sinBsinA,所以sinB

1

, 2

由 ABC为锐角三角形得B

π. 6

(Ⅱ)cosA sinC cosA sin

A

cosA sin A

6

1 cosA cosA

A

22

A .

3

2 ．在 ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)设m sinA,cos2A ,n 4k,1 k 1 ,且m n的最大值是5,求k的值.

【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C． 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA． ∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=

1

. 2

∵0<B<π,∴B=

. 3

(II)m n=4ksinA+cos2A．

=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,设sinA=t,则t∈(0,1].

2

) 3

则m n=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈(0,1].

∵k>1,∴t=1时,m n取最大值.

高考数学三角函数典型例题

依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

3

. 2

A BC

sin 2. 22

3 ．在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,sin

I.试判断△ABC的形状;

II.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.

【解析】:I.sin

C

2

sin

CCCC cos sin 2sin( ) 22224

C

即C ,所以此三角形为直角三角形. 2422

II.16 a b a2 b2 2ab 2ab, ab 64(2 2)2当且仅当a b时取等号, 此时面积的最大值为326 42.

4 ．在 ABC中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,cosA

3

, 4

(1)求cosC,cosB的值; (2)若

27

,求边AC的长 2

2

【解析】:(1)cosC cos2A 2cosA 1 2

91 1 168

13737

由cosC ,得sinC ;由cosA ,得sinA

8844 cosB cos A C sinAsinC cosAcosC 2727

, accosB , ac 24 ① 22

ac3

,C 2A, c 2acosA a ②又 sinAsinC2

(2) 由①②解得a=4,c=6

737319

484816

b2 a2 c2 2accosB 16 36 48 b 5,即AC边的长为5.

9

25 16

2

5 ．已知在 ABC中,A B,且tanA与tanB是方程x

5x 6 0的两个根.

(Ⅰ)求tan(A B)的值; (Ⅱ)若AB 5,求BC的长.

【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程x

2

5x 6 0的两根tanA 3,tanB 2.

∴tan(A B)

tanA tanB2 3

1

1 tanAtanB1 2 3

(Ⅱ)∵A B C 180,∴C 180 (A B).

高考数学三角函数典型例题

由(Ⅰ)知,tanC tan(A B) 1,

∵C为三角形的内角,

∴sinC

∵tanA 3,A为三角形的内角,

∴sinA

由正弦定理得:

ABsinC BC

sinA

∴BC

2

6 ．在 ABC中,已知内角

A． B．C

所对的边分别为

m 2siBn,n 3

cos2B,2cos2B2 1 ,且m //n

(I)求锐角B的大小;

(II)如果b 2,求 ABC的面积S ABC的最大值

【解析】:(1) m //n

2sinB(2cos2

B2

3cos2B

3cos2B tan2B=-3 ∵0<2B<π,∴2B=2π3∴锐角B=π

3

(2)由tan2B3 B=π5π

36①当B=π

3

时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)

∵△ABC的面积S△ABC=13

2acsinB=4ac≤∴△ABC3

②当B=5π

6

时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a2+c23ac≥2ac+3ac=(23)ac(当且仅当a=c6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)

∵△ABC的面积S△ABC=121

42-∴△ABC的面积最大值为3

7 ．在 ABC中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且a2

c2

b2

1

2

ac. (1)求sin

2

A C

2

cos2B的值; (2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

a、b、c,向

量

高考数学三角函数典型例题

【解析】:(1) 由余弦定理:

14

sin2

1A C

+cos2B=

42

(2)由cosB

1b=2, ,得sinB . ∵

44

a

2

811

+c2=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABCacsinB≤(a=c时取等号)

2233

故S△ABC的最大值为

3

)

8 ．已知tan a,(a 1),求 tan2 的值 sin( )

2

【解析】

2a; 1 a

3

sin 5 cos cos 29 ．已知f

3

sin cos tan 3 2 2

(I)化简f

3 1

,求f 的值 2 5

(II)若 是第三象限角,且cos

【解析】

10．已知函数f(x)=sinx+

2

3sinxcosx+2cos2x,x R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;

(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

【解析】

:(1)f(x)

1 cos2x2x (1 cos2x) 2

高考数学三角函数典型例题

132x cos2x 222

3

sin(2x ) .

62

f(x)的最小正周期T

由题意得2k

2

. 2

2

2x

6

2k

2

,k Z, 即 k

3

x k

6

,k Z.

f(x)的单调增区间为 k ,k ,k Z.

36

(2)先把y sin2x图象上所有点向左平移得到y sin(2x

个单位长度, 12

3

个单位长度, 2

6

)的图象,再把所得图象上所有的点向上平移

就得到y sin(2x

3

) 的图象 62

33 x x

,b (sin,cos),f(x) a b , 11．已知a 2442

(1)求f(x)的单调递减区间

(2)若函数y g(x)与y f(x)关于直线x 1对称,求当x [0,]时,y g(x)的最大值

4

3

【解析】:(1)

f(x) [

x3 x x sin cos 3sin( ) 2424433

2k ]时,f(x)单调递减 2

∴当

x

4

32

1022

8k]时,f(x)单调递减 解得:x [ 8k,

33

2k ,

(2)∵函数y g(x)与y f(x)关于直线x 1对称 ∴g(x) f(2 x)

(2 x)

sin

43

x x

3sin cos

243 43

∵x [0,] ∴

43

x

4

11 2 x

, ∴cos [ ,]

223 33 43 2

∴x 0时,gmax(x)

高考数学三角函数典型例题

12．已知cos 2sin ,求下列各式的值;

(1)

2sin cos

;

sin 3cos

2

(2)sin 2sin cos

【解析】:Qco …… 此处隐藏：7601字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……