厦门大学《应用多元统计分析》附录I 矩阵代数基本知识

厦门大学《应用多元统计分析》

附录I 矩阵代数基本知识

矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。

一、 向量矩阵的定义

将n×p个实数a11,a12,L,a1p,a21,a22,L,a2p,L,an1,an2,L,anp排成如下形式的矩形数表，记为A

a11a12La1p aaLa 21222p A=

MMM

Laaa np n1n2

则称A为n×p阶矩阵，一般记为A=(aij)n×p，称aij为矩阵A的元素。当

n=p时，称A为n阶方阵；若p=1，A只有一列，称其为n维列向量，

记为

a11

a 21

M an1

若n=1，A只有一行，称其为

p维行向量，记为

a11,a12,L,a1p

1

()

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当A为n阶方阵，称a11,a22,L,ann为A的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵A的非对角元素全为0，称A为对角阵，记为

a11 A=

a22

=diag(a,a,L,a)

nn1122 O

ann

进一步，若a11=a22=L=ann=1，称A为n阶单位阵，记为In或

A=I。

如果将n×p阶矩阵A的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p×n的矩阵，记为

a11a21Lan1

aaLa 1222n2 A′=

MM M

Laaa np 1p2p

称其为矩阵A的转置矩阵。

若A是方阵，且A′=A，则称A为对称阵； 若方阵A=(aij)n×n，当对一切i<j元素aij=0，则称

a11

aa 2122 A=

MMO

Laaann n1n2

为下三角阵；若A′为下三角阵，则称A为上三角阵。

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二、 矩阵的运算

1．对A=(aij)n×p与B=(bij)n×p的和定义为： A+B=(aij+bij)n×p

2．若a为一常数，它与矩阵n×p阶矩阵A的积定义为： aA=(aaij)n×p

3．若A=(aik)p×q，B=(bkj)q×n，则A与B的积定义为： q

AB=(

∑a

ikbkj)p×n

k=1

根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律 (A+B)+C=A+(B+C)

A+B=B+A

2．乘法满足结合律

(aβ)A=a(βA)， a(AB)=(aA)B=A(aB) A(BC)=(AB)C

3．乘法和加法满足分配律

a(A+B)=aA+aB， (a+β)A=aA+βA

A(B+C)=AB+AC，(A+B)C=AC+BC 4．对转置运算规律

(A+B)′=A′+B′， (aA)′=(aA′)

(AB)′=B′A′， (A′)′=A

另外，若A=(aij)n×n满足A′A=AA′=I，则称A为正交阵。

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三、 矩阵分块

对于任意一个n×p阶矩阵A，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：

a11 a21 A= M a n1

a12a22Man2

a1p

La2p

M

Lanp L

写成

A12 A

A= 11

AA 2122

其中A11=(aij)n1×p1，A12=(aij)n1×p2， A21=(aij)n2×p1，A22=(aij)n2×p2，

且n1+n2=n，p1+p2=p。

分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：

′ A11

′A= A′21

′ A12

。 A′22

四、 方阵行列式的性质

一个n阶方阵A=(aij)n×n中的元素组成的行列式，称为方阵A的行列式记为A或detA。它有以下我们熟知的性质：

1．若A的某行（或列）为零，则A=0； 2．A=A′；

3．将A的某行（或列）乘以数c所得的矩阵的行列式等于cA； 4．若A是一个n阶方阵，c为一常数，则cA=cA

5．若A的两行（或列）相同，则A=0；

n

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6．若将A的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于 A；

7．若将A的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于A；

8．若A和B均为n阶方阵，则AB=AB； 9．若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则A= 10．AA′≥0

11．若A和B都是方阵，则

∏a

i=1

n

ii

ACA0

==AB

0BCB

12．若A和B分别是n×p和p×n的矩阵，则

In+AB=Ip+BA

五、 逆矩阵

设A为n阶方阵，若A≠0，则称A是非退化阵或称非奇异阵，若

A=0，则称A是退化阵或称奇异阵。

若A是n阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B，使得AB=BA=In，B称为A的逆矩阵，记为B=A。 逆矩阵的基本性质如下： 1．AA

1 1

1

=A 1A=I =(A 1)′

1

2．(A′)

3．若A和B均为n阶非退化阵，则 (AB)

=B 1A 1

4． 设A为n阶非退化阵，b和a为n维列向量，则方程：

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Ab=a 的解为

b=Aa 5．A

1

1

=A

1

1

6．若A是正交阵，则 A则A

1

=A′

7．若A是对角阵，A=diag(a11,a22,L,ann)且aij≠0，i=1,L,p，

=diag(a11 1,a22 1,L,ann 1)。 8．若A和B非退化阵，则

A 1 AC

= 0B 0

1 1

A 1CB 1

B 1

A 10 A0

= 1 1 1 B CB BCA

9．设方阵A的行列式A分块为：

A=

A11A21

A12A22

若A11，A22是方阵且是非退化，则

A=A11A22 A21A11 1A12=A22A11 A12A22 1A21

六、 矩阵的秩

若存在它的一个r阶子方阵的行列式不为零，而A 设A为n×p阶矩阵，

则称A的秩为r，记作rk(A)=r。的一切(r+1)阶子方阵的行列式均为零，它有如下基本性质：

1．rk(A)=0，当且仅当A=0；

2．若A为n×p阶矩阵，则0≤rk(A)≤min(n,p)；

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3．rk(A)=rk(A′)；

4．rk(AB)≤min(rk(A),rk(B))； 5．rk(A+B)≤rk(A)+rk(B)；

6．若A和C为非退化阵，则rk(ABC)=rk(B)。 七、 特征根和特征向量

设A为p阶方阵，则方程A λIp=0是λ的p次多项式，由多项式，记为λ1，λ2…，λp，称为A的特征理论知道必有p个根（可以有重根）

根或称特征值。

使得(A λiIp)ui=0，则称ui为对应于λi的若存在一个p维向量ui，

A的特征向量。特征根有如下性质：

1．若A为实数阵，则A的特征根全为实数，故可按大小次序排列成

λ1≥λ2≥L≥λp，若λi≠λj，则相应的特征向量ui与uj必正交。

2．A和A′有相同的特征根。

3．若A与B分别是p×q与q×p阶阵，则AB与BA有相同的非零特征根。

实际上，因为

Ip A λIpA λIp AB0

=

0IBIBIλλλq q q

0 λIpA λIpA Ip

=

λλBIBI0IBA q q q

所以

λIp AB0λIpA

=

0λIq BAλBλIq

λqλIp AB= …… 此处隐藏：3351字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……