§2 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

余弦、 两角和与差的 余弦、正弦函数

一、问题情境1. cos(α β ) = cos α cos β 成 立 吗 ?提示特值判断法

二、学生活动在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆， 在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又原点为 顶点， 轴非负半轴为始边分别作角 . 顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α , β , 且 α > β

yP 1

op1 op2 = op1 op2 cos(α β ) = cos(α β )

又∵P 2

p 1 (cos α , sin α ), p 2 (cos β , sin β )

αO

β

x

∴op1 op2 = cos α cos β + sin α sin β

cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β

三、数学建构： 数学建构：1、两角差的余弦公式： 、两角差的余弦公式：

cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β两角和的余弦公式： 两角和的余弦公式：

cos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β结构特征： 结构特征 的正、 弦的乘积的和或差的形式； 乘积的和或差的形式 (1)公式的右侧展开式为 α与β 的正、余弦的乘积的和或差的形式； ) 号连接； (2)公式左侧α与β 用“-”号，右侧用“+”号连接；反之亦然。 ) 号 右侧用“ 号连接 反之亦然。

四、数学运用题型一： 题型一： 1.不查表求： 750 cos 0 的值。 不查表求： 不查表求 cos , 15 的值。

3 5 π 2.已知 sin α = , α ∈ ( , π ), cos β = 5 2 13 3π β ∈ (π , ), 求 cos(α β ), cos(α + β )的值。 2

二、公式的推导

sin (α + β ) π = cos (α + β ) 2

π = cos α β 2

π π = cos α cos β + sin α sin β 2 2

= sin α cos β + cos α sin β

π = cos (α + β ) 2

sin (α + β )

π π = cos α cos β + sin α sin β 2 2

π = co s α β 2

= sin α cos β + cos α sin β

用 β 代βsin(α β ) = sin α cos β cos α sin βsin(α β) = sin[α ( β)] = sinα cos( β) + cosα sin( β)

两角和与差的正弦公式1、两角和的余弦公式 、

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β简记：S(α +β ) 简记： 2、两角差的余弦公式 、

sin(α β ) = sin α cos β cos α sin β简记： 简记：S(α β )

题型一： 题型一：15 π π 的值. 例1.已知 sin α = , α ∈ ( ,0) 求 cos( α ) 的值 17 2 3

3 π 例2:已知 sin a = , α 是第四象限的角，求 sin( α ), 5 4 cos( + α ), tan(α )的值。 4 4

π

π

3 解 ： 由 sin α =- , α 是 第 四 象 限 的 角 ， 得 5 4 2 3 2 cos α = 1 sin α = 1 ( 5 ) = , 5 sin α 3 所 以 tan α = = co s α 4于是有

πsin( 4

α ) = sin

π

4 4 2 4 2 3 7 2 = × × ( ) = ; 2 5 2 5 10

co s α co s

π

sin α

题型二： cos α cos β + sin α sin β = cos(α β )

cos α cos β sin α sin β = cos(α + β )3.求值： 求值

1.sin 55 sin 25 + cos 55 cos 250 0 0

0

2.cos 24 cos36 cos54 cos 660 0 0

0

3.cos 75 sin 752 0 2

0

题型二：3 4 cos α + cos β = , sinα + sin β = 求 cos(α β ) 的值 4.已知 的值. 已知 5 5

题型三: 题型三:5.已知 < β < α < 3π 已知 2 4 求π

, cos(α β ) = 的值。 的值。

cos 2α , cos 2β

12 3 , sin(α + β ) = 13 5

题型三: 题型三1 1 6.已知 cos(α β ) = , cos(α + β ) = 求 tan α tan β 值 5 3

小结： 小结cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin βcos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin βsin(α β ) = sin α cos β cos α sin β

引例

把下列各式化为一个角的三角函数形式

3 1 (1) sinα + cosα 2 2

(2)sin (2)sinα + cosα(3)a sin x + b cos x