求函数解析式的几种常用方法

来源：网络收集时间：2026-08-24

导读：求函数解析式的几种常用方法高中必修一题目高考要求求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 1、换元法：已

求函数解析式的几种常用方法高中必修一

题目

高考要求

求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力

1、换元法：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t g(x)，从而求得x g 1(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

2、待定系数法

若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。

3、凑配法

若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，（如g(x)不存在反函数）可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

4、消元法

若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

5、赋值法

在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解

例1 如果f(x 1) x 5x 4，那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式。

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|f(x)| 例3 设y=f(x)是实数函数，且f(x) 2f() x，求证：1

x22。 3

例4 已知af(xn) f( xn) bx，其中a2 1,n奇数，试求f(x)。例5 已知f(a b) f(b) a(a 2b 1)，且f(0) 1,求f(x)的表达式。

解：令b 0,由已知得：f(a) f(0) a(a 1) 1 a2 a.

f(x) x2 x 1

例6 (1)已知函数f(x)满足f(logax)=a1(x ) (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)xa2 1

的表达式

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式命题意图本题主要考查函数概念中的三要素定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力知识依托利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法解 (1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则x=at

a－因此f(t)=2 (at－at) a 1

a－∴f(x)=2 (ax－ax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0) a 1

(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 1 a [f(1) f( 1)] f(0) 2 1 得 b [f(1) f( 1)] 2 c f(0)

并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，

f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1

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或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1

例7设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图像是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图像命题意图本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及因此，分段函数是今后高考的热点题型知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线错解分析本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式解 (1)当x≤－1时，设f(x)=x+b

∵射线过点(－2，∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2

(2)当－1<x<1时，设f(x)=ax2+2

∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1

∴f(x)=－x2+2

(3)当x≥1时，f(x)=－x+2 x 1,x 1 综上可知 f(x)= 2 x2, 1 x 1作图由读者来完成

x 2,x 1

例8已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1) (换元法）

∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1

令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u

∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)

∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) (配凑法）

f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5

∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),

22即f(x－1)=2(x－1)－7(x－1)+5=2x－11x+14(2≤x≤4) 1若函数f(x)=

A 3 mx3(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( ) 44x 333 B C－ D－3 22

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2设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( ) A f(x)=(x+3)2－1 Bf(x)=(x－3)2－1 f(x)=(x－3)2+1 D f(x)=(x－1)2－1 3已知f(x)+2f(1)=3x,求f(x)的解析式为_________ x

4已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________ 5设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式 6设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求这个矩形面积的最大值 7动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)

表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并

作出g(x)的简图 8已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期

T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5

(1)证明f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式参考答案 1∵f(x mx

=x,整理比较系数得m ∴f［f(x)］=mx4 34x 3m 答案A

2利用数形结合，x≤1时，

f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，

又y=f(x)关于x=1对称，

故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1

答案B

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11)=3x知f()+2f(x xx12由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x xx2答案f(x)= －x x3由f(x)+2f(4∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0又f(x+1)=f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1 故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=

答案1111,b=,∴f(x)=x2+ 2222121x+x 22

228x x 1 775解利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=

6解(1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,

∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),

又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4

(2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,

又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,

设A、B坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1), 则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，

S22t2 2 t2 2 t2364222∴=2t(2－t)·(2－t)≤()=, 8327

6当且仅当2t2 …… 此处隐藏：3237字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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