第5章 空间力系 重心

静力学-空间力系

第一篇 理论力学

第五章 空间力系 重心

Theoretical Mechanics

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第五章 空间力系 重心

目录

§5-1 力在直角坐标轴上的投影 §5-2 力对轴之矩 §5-3 空间力系的平衡方程 §5-3 物体的重心和形心

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第五章 空间力系 重心

空间力系:力的作用线不位于同一平面内. 空间力系:力的作用线不位于同一平面内. 空间力系包括: 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系

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5.1 力在直角坐标轴上的投影 一,一次(直接) 一,一次(直接)投影法 若已知力F与三个坐标轴x 若已知力F与三个坐标轴x,y,z的夹角分别为 α,β,γ时,则F 在三个坐标轴上的投影分别为

Fx = F cosα

Fy = F cos β

Fz = F cos γ以上投影方法称为直接投影法,或一次投影法. 以上投影方法称为直接投影法,或一次投影法.Theoretical Mechanics

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5.1 力在直角坐标轴上的投影 二,二次投影法:Fx = F sin γ cos

Fy = F sin γ sin

Fz = F cos γ反之, 当已知力F 反之 , 当已知力 F 在三个 F = Fx2 + F y2 + Fz2 坐标轴上的投影时,可 cosα = Fx / F 求出力F 的大小和方向. cos β = Fy / F cos γ = Fz / FTheoretical Mechanics

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5.2 力对轴的矩 一,定义 r 轴之矩定义为: 力 F 对z 轴之矩定义为: 力对任一轴之矩, 力对任一轴之矩,是力使刚体绕 此轴转动效应的度量, 此轴转动效应的度量,等译该力 在垂直于该轴平面上的投影对于 轴与平面的交点之矩. 轴与平面的交点之矩. r r M z ( F ) = M 0 ( Fxy ) = ± Fxy d 符号规定: 符号规定: 轴正向向里看, 从z轴正向向里看,若力使刚体逆时针转取正,反 轴正向向里看 若力使刚体逆时针转取正, 之取负.力对轴的矩为代数量. 之取负.力对轴的矩为代数量.Theoretical Mechanics

r z FZ

B

v A Fxy′ v B A′ F xy

O d

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5.2 力对轴的矩

二,力对轴的矩的解析 表达式

M x ( F ) = Fz y Fy z

r FxzFx

zF zγ

vB Fβ

r Fyz Fy

M y ( F ) = Fx z Fz xM z ( F ) = Fy x Fx y

Aαz xy

x

r Fx

r Fxy r y Fy r Fxy

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5.2 力对轴的矩 由定义可知: 由定义可知: (1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时, )当力的作用线与轴平行或相交(共面) 力对轴的矩等于零. 力对轴的矩等于零. (2)当力沿作用线移动时,它对于轴的矩不变. )当力沿作用线移动时,它对于轴的矩不变. 同样,力对轴之矩亦有合力矩定理: 同样,力对轴之矩亦有合力矩定理:合力对任 一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. 一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.即:

r v M z ( FR ) = ∑ M z ( F )Theoretical Mechanics

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5.3 空间力系的平衡方程 一,空间任意力系的平衡方程r F2r Fnx o(z) y z

r F1o y

z

r F2 yzr Fnyz

r F1 yz

o(x)

y

r F2 xy r F1xyr Fnxy

r F2 xz r Fnxzx

z

r F1xz

x

o(y)

空间任意 力系向任一平 面投影,得一

平面任意力系. 平面任意力系 . 若原空间任意 力系是平衡力 系,则这一平 面任意力系也 必然是平衡力 系.

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5.3 空间力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件是: 空间任意力系平衡的必要和充分条件是 : 力 系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每 一个轴上的投影的代数和等于零, 一个轴上的投影的代数和等于零 , 以及力系对于 这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零. 这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零.

∑Fx

x

=0

∑F

y

=0y

∑F = 0zz

∑M ( F) = 0 ∑M ( F ) = 0 ∑ M ( F ) = 0

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5.3 空间力系的平衡方程 二,空间汇交力系的空间平行力系的平衡方程 (1),空间汇交力系——空间力系中,各力的作用 ),空间汇交力系——空间力系中,各力的作用 线汇交于一点.z

r ∑ M x (F ) ≡ 0 r ∑ M y (F ) ≡ 0 r ∑ M z (F ) ≡ 0

F1yO

x

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5.3 空间力系的平衡方程 空间汇交力系的平衡方程为: 空间汇交力系的平衡方程为:

∑F ∑F ∑F

x y

=0 =0 =0

z

空间汇交力系的平衡的充要条件是: 空间汇交力系的平衡的充要条件是 : 力系中 各力在三个直角坐标轴上的投影的代数和分别等 于零. 于零.Theoretical Mechanics

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5.3 空间力系的平衡方程 (2),空间平行力系——空间力系中,各力的作用 ),空间平行力系——空间力系中,各力的作用 线汇相互平行. 空间平行力系平衡的充要条件是: 空间平行力系平衡的充要条件是: 力系中各力在与力平行的轴上投影的代数和等于零. 力系中各力在与力平行的轴上投影的代数和等于零. 同时各力对与力垂直的两坐标轴的矩的代数和分别 等于零. 等于零. z F2

∑F

x

≡ 0,= 0,

∑F∑M

y

≡ 0,

∑M

z

(F ) ≡ 0(F ) = 0

Fn

F1

平衡方程为: 平衡方程为:

∑F

z

x

(F ) = 0 ,

∑M

yO

y

xTheoretical Mechanics

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例题

例5-1 水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮.带轮所受到的 紧边胶带拉力FT1沿水平方向,松边胶带拉力FT2与水平线成θ= 30°角,如图所示.齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮合, 受到后者作用的圆周力Fτ和径向力Fn .已知带轮直径d2=0.2 m, 啮合角α=20°,b=0.2 m,c=e=0.3 m, Fτ= 2 kN,零件自身 重量不计,并假设FT1=2FT2.转轴可以认为处于平衡状态.试 求支承转轴的向心轴承A,B的约束力.

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5.3 空间力系的平衡方程

例题

解:画转轴受力图.取直角坐标系Axyz.列平衡方程:∑Fx = 0, F Ax + FBx + FT1 + FT2 cos θ + Fτ = 0∑Fz = 0, F Az + FBz FT 2 sin θ Fn = 0

∑M x (F ) = 0, FBz (c + e ) Fn c + FT 2 sin θ b = 0Theoretical Mechanics

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5.3 空间力系的平衡方程

例题

解:画转轴受力图.取直角坐标系Axyz.列平衡方程: d2 d1 d1 ∑M y (F ) = 0 Fτ 2 FT1 2

+ FT2 2 = 0

∑M z (F ) = 0

FBx (c + e ) Fτ c + FT 1 b + FT 2 cosθ b = 0平衡方程∑Fy=0成为恒等式

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