矩阵论_第一章_线性空间和线性映射

矩阵理论数学与系统科学学院 王震

个人简介 王震，博士，副教授，硕士生导师研究方向：分数阶系统的稳定性、同步控制及其应用。现 主持国家自然科学基金面上项目1项。 主讲课程：数值分析，运筹学，数学模型，数学实验， 偏微分方程数值解，Calculus(留学生), Linear Algebra (留学生),Complex Function(留学生),矩阵分析， 图论与网络优化，线性代数与解析几何等。山东省精品 课程《数值分析》主讲教师。 办公室：J9-404, 电话：80698175, 13573831001 Email:wangzhen_sd@http://www.77cn.com.cn

参考教材：1、矩阵论，许立炜，赵礼峰编著，科学出版社，2011。 2、矩阵分析(第3版),史荣昌，魏丰编著，北京理工 大学出版社，2013。 3、矩阵分析，Roger A.Horn等，机械工业出版社， 2014。 4、矩阵论，程云鹏，张凯院等，西北工业大学出版社， 2012。 5、矩阵论，张凯院，徐仲等，科学出版社，2013 学时：32学时

考试成绩：平时成绩+期末成绩

第一节

线性空间的概念

一 线性空间的定义与例子定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律： (1) 加法交换律 (2) 加法结合律

( ) ( )

(3) 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ,使得对 于任意的 V 都有

0 (4) 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得

01

则称 是 的 负元素. ( 5) 数 1

( 6)( 7)

k (l ) (kl ) (k l ) k l

( 8)

k ( ) k k F上的线性空间。

称这样的集合 V 为数域

例 1 全体实函数集合 构成实数域 R 上的 线性空间。 例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成 C m m m n 的集合 C 为 C 上的线性空间。

例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间. 例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的 定义下构成实数域上的线性空间：

a b : ab, a, b Rk

k a : a , a R , k R例 5 R 表示实数域 的集合。即

R

上的全体无限序列组成的

ai F , R [a1 , a2 , a3 , ] i 1,2,3,

在 R 中定义加法与数乘：

[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k [a1 , a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]则

R

为实数域

R上的一个线性空间。

二 线性空间的基本概念及其性质定义 线性组合；线性表

出；线性相关；线性无关；向 量组的极大线性无关组；向量组的秩.

基本性质：

(1)含有零向量的向量组一定线性相关；(2)整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； (3)如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关；

(4)向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；

(5)如果向量组(I)可以由向量组(II)线性表出，那么向量组(I)的秩小于等于向量组(II)的秩； (6)等价的向量组秩相同。

例1

实数域

R 上的线性空间 R R 中，函数组

e , e , , e

1x

2 x

n x

是一组线性无关的函数，其中 1, 2 , , n 为一 组互不相同的实数。 例2 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组 是一组线性无关的函数，其中 1, 2 , , n 为一 组互不相同的实数。 例3 实数域 R上的线性空间 R R中，函数组

x , x , , x

1

2

n

1,cos x,cos 2 x, ,cos nx也是线性无关的。

例4 实数域 R 上的线性空间空间 R

R

中，函数组

1,cos x,cos2 x与函数组

2

sin x,cos x,sin x,cos x, ,2 2

sin x,cos x , n 4.n n

都是线性相关的函数组。 第二节 线性空间的基底，维数与坐标变换定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量 1 , 2 , , n 使得 V

中的任意一个向量 线性表出:

都可以由 1, 2 , , n

k1 1 k2 2 kn n T , , , 则称 1 2 n 为 V 的一个基底； (k1 , k2 , , kn ) 为向量 在基底 1 , 2 , , n下的坐标。此时我们 称 V 为一个n 维线性空间，记为 dim V n.例1 实数域

R上的线性空间 R 3中向量组 (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)

与向量组

(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 都是 R 3 的基。 R 3 是3维线性空间。 2 2 例2 实数域 R 上的线性空间 R 中的向量组 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0 与向量组

1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1 都是

R

2 2

的基。R 2 2 是4维线性空间。

例3

实数域

R 上的线性空间 R[ x]中的向量组 n

1, x, x , , x2

n

与向量组

1, x 2,( x 2) , ,( x 2) 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.2 n

注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4 在4维线性空间

R

2 2

中，向量组

0 1

1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0 与向量组

1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1 是其两组基，求向量 坐标。

1 2 A 3 4

在这两组基下的

T A 解：设向量 在第一组基下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 )

于是可得

1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0 解得

7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3

同样可解出在第二组基下的坐标为

y1 1, y2 1, y3 1, y4 4