高中数学 2.3《数学归纳法(一)》教学设计 新人教A版选修2

选修2-2 2.3《数学归纳法（一）》教学设计

一、教材分析

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范。学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法。首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

二、教学目标 1． 知识目标 （1） 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理。

（2） 能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。 （3） 初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。 2． 能力目标

（1） 通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2） 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

（3） 在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。 3． 情感目标

（1） 通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点。 （2） 体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。

（3） 学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神。 三、教学重点与难点 1．教学重点

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。 2．教学难点

（1） 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。 （2） 递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当

时结论正确。

四、教学方法

本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归

纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。 五、教学过程

（一）创设情境，提出问题 情境一： 情境二：

情境三：数列

an 的首项a1 1，且

an

an

1 an，试猜想数列 an 的通项公式。我们求

得

a2

1111

a3 a4 an 2，3，4，于是猜想出数列 an 的通项公式为n。

结论：运用有限多个特殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确。因此它不

能作为一种论证的方法。

提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课所要学习的数 学归纳法就是解决这一问题的方法之一。 （二）实验演示，探索解决问题的方法 1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏

师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒下，必须具备那些条件呢？ ①第一块骨牌必须倒下。

②两块连续的骨牌，当前一块倒下，后面一块必须倒下。

演示小结：当第k块倒下，则第k 1块必须倒下，数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样。 2． 数学归纳法公理：

（1） （递推基础）当取第一个值（2） （递推归纳）假设当 证明当那么，命题对于从

（例如

等）结论正确； 时结论正确；（归纳假设）

时结论也正确。（归纳证明）

开始的所有正整数n∈N*都成立。

步骤（1）是数学归纳法的基础，步骤（2）建立了递推过程，两者缺一不可，这就是数学归纳法。

（三）迁移应用，理解升华

例1：用数学归纳法证明：等差数列

中，

为首项，

为公差，则通项公式为

. ①

选题意图：让学生注意：①数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题；

②两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不成立；

③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。

此时学生心中已有一个初步的证明模式，教师应该规范板书，给学生提供一个示范。 证明：①当 ②假设当当

时，有

.

所以当

时等式①也成立。

，等式①都成立。

时，左边

，右边

时等式①成立，即有

，等式①成立.

，

由 ①、②可知，对任何

例2：用数学归纳法证明：当n∈N*时，

n(n 1)(2n 1)

12 22 32 n2 选题意图：①进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，6

认识；

②掌握从并项等。

到

时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项、合

证明：①

时：左边，右边，左边=右边，等式成立。

② 假设当 当

时有：时：左边

，

∴当

时等式也成立。

右边

由 ①、②可知，对一切（四）反馈练习，巩固提高

，原等式均成立

课堂练习：（1）用数学归纳法证明：当（2）设

，

，

时，

，

.

。用数学归纳法证明：

边_____________________________________ 选题意图：让学生明确当的恒等变化去利用

时等式左边比

时的归纳假设。

。当时，等式左

时应增加哪些式子，如何通过恰当

利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 （五）反思总结

1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；

2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； 3．递推归纳时从

明等式时第一步中证明

到

，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意证

时应增加的式子；第二步中

时的形式（这

时左右两边的形式，第二步中

命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”

样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。